Геометрические преобразования в примерах и задачах. Дорофеев С.Н. - 118 стр.

                                        118

Доказательство. Прямую в пространстве можно представить как линию пе-
ресечения двух плоскостей. Поскольку при движении каждая плоскость пе-
реходит в плоскость, значит, линия пересечения плоскостей тоже переходит
в линию пересечению двух других плоскостей. Так как линия пересечения
плоскостей есть прямая, то при движении всякая прямая переходит в пря-
мую.

        3. Всякое движение пространства (плоскости) сохраняет простое
отношение трех точек
Доказательство. В пространстве за- Доказательство (аналогично).
дадим три точки M1, M2 и M3, при-
надлежащие одной прямой. Пусть
точка M3 делит отрезок М1М2 в от-
ношении λ≠–1. Под действием дви-
жения g эти точки перейдут в некото-
рые точки M1`, M2`, M3`. Покажем, что
(M1`, M2`, M3`)=λ. Зададим ПДСК
Oxyz. Пусть относительно этой ПДСК
точки M1, M2 и M3 имеют координаты
М1 ( x1, y1, z1) ,       М2 (x2, y2, z2) ,
М3 (x3, y3, z3 ). Поскольку точка М3 де-
лит отрезок М1М2 в отношении λ, то
координаты этих точек удовлетворяют
соотношениям

    3 x1 + λx 2     3     y1 + λy 2
  x =           , y =               ,
       1+ λ                 1+ λ
           3    z1 + λz 2
          z =             .           (1)
                 1+ λ
      Под действием движения g
ПДСК Oxyz переходит в ПДСК
O`x`y`z`, относительно которой точки
M1`, M2`, M3` имеют те же самые ко-
ординаты, что и точки M1, M2 и M3
относительно ПДСК Oxyz. Поскольку
координаты точек M1`, M2`, M3` удов-
летворяют соотношениям (1), значит,
точка M3` делит отрезок M1`M2` в от-
ношении λ≠–1.
      4. Всякое движение пространства (плоскости) переводит отрезок в
равный ему отрезок, луч – в луч