Геометрические преобразования в примерах и задачах. Дорофеев С.Н. - 120 стр.

                                          120



     Пусть задано движение g плоскости и ортонормированный репер
ℜ = {О, А1 , А2 } на ней. Напомним, что репер называется ортонормированным,
если его координатные векторы i = ОА1 , j = ОА 2 единичны и взаимно ортого-
нальны. Задать ортонормированный репер на плоскости, значит, задать прямо-
угольную декартову систему координат Oxy, ось абсцисс которой совпадает с
направленной прямой OA1, а ось ординат с направленной прямой OA2. Под дейст-
вием движения g репер ℜ = {О, А1, А2 } переходит в репер ℜ` = {О`, А1 `, A2 `}.
Предположим, что точка О` относительно ортонормированного репера
ℜ = {О, А1 , А2 } имеет координаты ( x0 , y0 ) . Обозначим через α угол, который
образует ось O`A`1 c положительным направлением оси ОА1. Тогда векторы
О`А1 ` и О`А 2 ` относительно ортонормированного репера ℜ = {О, А1 , А2 } бу-
дут иметь координаты: О`А1 ` = (cos α, sin α), O`A 2 ` = (− sin α, cos α) , если ре-
перы ℜ = {О, А1 , А2 } и ℜ` = {О`, А1 `, A2 `} одинаково ориентированы и
О`А1 ` = (cos α, sin α), O`A 2 ` = (sin α, − cos α) , если реперы ℜ = {О, А1 , А2 } и
ℜ`= {О`, А1 `, A2 `} противоположно ориентированы. Произвольно на плоскости
возьмем точку М. Предположим, что эта точка в ортонормированном репере
ℜ = {О, А1 , А2 } имеет координаты М ( x, y ) . Движение g переводит точку М в
некоторую точку M`. Относительно репера ℜ = {О, А1 , А2 } точка M` имеет коор-
динаты M`( x`, y`) . По теореме 1, доказанной в предыдущем параграфе, точка
M` относительно репера ℜ` = {О`, А1 `, A2 `} имеет те же координаты M`( x, y ) ,
что и точка М относительно репера ℜ = {О, А1 , А2 }. Таким образом, мы полу-
чили, что точка M` относительно двух разных реперов ℜ` = {О`, А1 `, A2 `} и
ℜ = {О, А1 , А2 } имеет, соответственно, следующие координаты ( x, y ) и ( x`, y`) .
Будем считать один из этих реперов, например ℜ = {О, А1 , А2 }, «старым», а
другой ℜ` = {О`, А1 `, A2 `} – «новым». Используя формулы, связывающие «ста-
рые» координаты ( x`, y`) точки М` c ее «новыми» ( x, y ) , получим формулы
                           ⎧ x` = x cos α − εy sin α + x0
                           ⎨                                  ,
                           ⎩ y ` = x sin α + εy cos α + y 0 ,
выражающие координаты образа через координаты его прообраза при движе-
нии g плоскости, переводящем ортонормированный репер ℜ = {О, А1 , А2 } в ор-
тонормированный репер ℜ` = {О`, А1 `, A2 `} .
      Пусть теперь g есть движение пространства, а ℜ = {О, А1 , А2 , A3 } – орто-
нормированный репер в пространстве. Получим формулы движения g про-
странства относительно репера ℜ = {О, А1 , А2 , A3 }. Прежде всего, заметим, что
под действием движения g ортонормированный репер ℜ = {О, А1 , А2 , A3 } пе-
реходит в ортонормированный репер ℜ` = {О`, А`1 , А`2 , A`3 }. Предполо-