Геометрические преобразования в примерах и задачах. Дорофеев С.Н. - 121 стр.

                                                          121

жим, что начало O` и координатные векторы i` = O`A1 `, j ` = O`A 2 `, k ` = O`A 3 `
репера ℜ` относительно ортонормированного репера ℜ = {О, А1 , А2 , A3 } имеют
следующие координаты: O`( x 0 , y 0 , z 0 ), i`(a11 , a 21 , a 31 ), j `(a12 , a 22 , a 32 ), k `(a13 , a 23 , a 33 ). В
пространстве произвольно возьмем точку М. Обозначим через ( x, y, z ) коорди-
наты точки M относительно репера ℜ = {О, А1 , А2 , A3 } . Под действием движе-
ния g точка M перейдет в некоторую точку M`, которая относительно репера
ℜ` = {О`, А`1 , А`2 , A`3 } будет иметь те же координаты, что и точка М относи-
тельно репера ℜ = {О, А1 , А2 , A3 } . Пусть точка М` относительно репера
ℜ = {О, А1 , А2 , A3 } имеет координаты ( x`, y`, z `) . Используя формулы, выра-
жающие «старые» координаты ( x`, y`, z `) точки М` через ее «новые» ( x, y, z ) ,
получим формулы
                                        ⎧ x`= a11 x + a12 y + a13 z + x0
                                        ⎪
                                        ⎨ y`= a21 x + a22 y + a23 z + y0                                       (12.1)
                                        ⎪ z `= a x + a y + a z + z ,
                                        ⎩       31     32      33      0

задающие движение g относительно репера ℜ = {О, А1 , А2 , A3 } . Заметим, что в
этих формулах коэффициенты при x есть нечто иное, как координаты вектора
i`, а коэффициенты при y – координаты вектора j `, коэффициенты при z – ко-
ординаты вектора k ` . Поскольку векторы i`, j `, k ` единичны и взаимно перпен-
дикулярны, то выполняются равенства
             2     2     2                     2     2     2                      2     2     2
            a11 + a21 + a31 = 1,              a12 + a22 + a32 = 1,               a13 + a23 + a33 = 1,
               a11a12 + a 21a22 + a31a32 = 0,                   a11a13 + a 21a23 + a31a33 = 0,
                                       a12 a13 + a22 a23 + a32 a33 = 0,
из которых следует, что матрица
                                               ⎛ a11 a12 a13 ⎞
                                               ⎜                ⎟
                                               ⎜ a 21 a 22 a 23 ⎟ ,
                                               ⎜a               ⎟
                                               ⎝ 31 a 32 a 33 ⎠
составленная из коэффициентов при координатах x, y, z, ортогональна, поэтому
ее определитель может равняться 1 или –1. Если он равен 1, то движение, опре-
деляемое формулами (12.1) называется движением I рода, если этот определи-
тель     равен      –1,     то     движение       называется      движением
II рода. Можно показать, что движения I рода сохраняют ориентацию про-
странства (плоскости), а движения II рода меняют ориентацию пространства
(плоскости) на противоположную.
      К движениям пространства первого рода относятся: параллельный пере-
нос, поворот пространства вокруг прямой, винтовое движение, тождественное