Геометрические преобразования в примерах и задачах. Дорофеев С.Н. - 122 стр.

                                       122

преобразование и осевая симметрия как частный случай поворота пространства
вокруг прямой на развернутый угол. К движениям пространства второго рода
относятся симметрия относительно плоскости, поворотное отражение, скользящее
отражение, центральная симметрия.
      К движениям плоскости первого рода относятся параллельный перенос,
поворот плоскости вокруг точки, тождественное преобразование и центральная
симметрия, как частный случай поворота плоскости вокруг данной точки на
развернутый угол. К движениям плоскости II рода относятся осевая симметрия
и скользящая симметрия.
      §13 КЛАССИФИКАЦИЯ ДВИЖЕНИЙ
           ПЛОСКОСТИ (ПРОСТРАНСТВА)

     Исследуя движения пространства и плоскости, мы ограничились изуче-
нием параллельного переноса, симметрии относительно плоскости,
центральной симметрии, поворотного отражения, скользящего отражения,
винтового движения, осевой симметрии плоскости, поворота плоскости вокруг
точки, скользящей симметрии и тождественного отображения. Естественно,
возникает вопрос: а какие еще движения пространства и плоскости можно
изучать? Оказывается, что все движения пространства и плоскости
исчерпываются теми, которые мы только что назвали. Обоснованием этого
утверждения мы сейчас и займемся. Сначала мы проведем классификацию
движений плоскости, а потом, по аналогии, проведем классификацию движений
пространства.
     Для этого нам потребуются формулы
                         ⎧ x` = x cos α − εy sin α + x0
                         ⎨                                            (13.1)
                         ⎩ y` = x sin α + εy cos α + y0 ,
задающие движение g плоскости относительно ПДСК О i j . Зная эти формулы,
мы можем ставить и решать задачи о нахождении инвариантных точек и инва-
риантных прямых движения g. Для этого достаточно составить систему уравне-
ний:
                          x = x cos α − εy sin α + x0 ,
                                                                     (13.1`)
                          y = x sin α + εy cos α + y0 ,
привести ее к виду
                            (1 − cos α) x + εy sin α = x0 ,
                                                                     (13.1``)
                         − x sin α + (1 − ε cos α) y = y 0
и исследовать полученную систему линейных уравнений на наличие решений.
Рассмотрим случай, когда движение g является движением I рода, т.е. ε = 1. В
этом случае система уравнений (13.1`) примет вид
                             (1 − cos α) x + y sin α = x0 ,
                                                                    (13.1```)
                          − x sin α + (1 − cos α) y = y0 .