Геометрические преобразования в примерах и задачах. Дорофеев С.Н. - 123 стр.

                                           123

      Если система уравнений (13.1```) не имеет решений, т.е. α = 0, то получа-
ем, что движение, определяемое формулами (13.1), не имеет инвариантных то-
чек и относительно заданной ПДСК О i j определяется формулами
                                     ⎧ x` = x + x0
                                     ⎨
                                     ⎩ y ` = y + y0 ,
cледовательно, является параллельным переносом. Пусть теперь система урав-
нений (13.1```) имеет единственное решение ( xS , y S ) , значит, движение g име-
ет только одну инвариантную точку, и относительно ПДСК О i j его можно
будет задать формулами
                    ⎧ x` = ( x − xS ) cos α − ( y − y S ) sin α + xS
                    ⎨
                    ⎩ y` = ( x − xS ) sin α + ( y − y S ) cos α + y S .
     Откуда следует, что движение g является поворотом плоскости вокруг
точки S ( xS , y S ) . Если система (13.1```) уравнений имеет бесконечное множест-
во решений, то движение g относительно ПДСК О i j задается формулами
                                        ⎧ x` = x
                                        ⎨
                                        ⎩ y` = y
и является тождественным отображением. Теперь рассмотрим случай, когда
движение g является движением II рода, т.е. ε = –1. Тогда формулы, задающие
движение g плоскости относительно ПДСК О i j , примут следующий вид:
                            ⎧ x` = x cos α + y sin α + x 0
                            ⎨                                               (13.2)
                            ⎩ y` = x sin α − y cos α + y 0 .
     Составим систему уравнений для нахождения инвариантных точек дви-
жения g, получим
                            ⎧(1 − cos α) x − y sin α = x0
                            ⎨                                              (13.2`)
                            ⎩− x sin α + (1 + cos α) y = y0 .
     Нетрудно убедиться в том, что определитель матрицы, составленной из
коэффициентов при текущих координатах x, y, равен нулю. Значит, эта система
либо имеет бесконечное множество решений, либо не имеет их вообще. Если
система (13.2`) имеет бесконечное множество решений, то движение g имеет
прямую инвариантных точек и относительно ПДСК О i j , например при α = 0,
определяется формулами
                                       ⎧ x` = x
                                       ⎨
                                       ⎩ y` = − y,
следовательно, является осевой симметрией. Если система уравнений (13.2`) не