Геометрические преобразования в примерах и задачах. Дорофеев С.Н. - 126 стр.

                                      126

порождает соответствующее движение плоскости квадрата. В частности, пово-
рот пространства вокруг прямой, перпендикулярной плоскости квадрата и про-
ходящей через его центр, порождает преобразование плоскости квадрата – по-
ворот ее вокруг этого центра на 90°, 180°, 270°, соответственно. Каждая из сим-
метрий пространства относительно плоскости, перпендикулярной плоскости
квадрата и содержащей его диагонали или средние линии, порождает в плоско-
сти квадрата осевую симметрию с осью, совпадающей с прямой, содержащей
диагонали квадрата или его средние линии. Следовательно, к симметриям квад-
рата как фигуры на плоскости относятся: тождественное отображение, поворо-
ты плоскости вокруг центра квадрата на 90°, 180°, 270°, осевые симметрии с
осями, содержащими диагонали или средние линии квадрата. Очевидно, что
множество всех симметрий фигуры Ф образует группу относительно компози-
ции движений, которая называется группой симметрий фигуры Ф. Таким обра-
зом, множество всех движений пространства, оставляющих данный квадрат на
месте, образует группу также, как и множество всех движений плоскости, со-
держащих данный квадрат и оставляющих его на месте. Проведенные рассуж-
дения доказывают, что эти группы изоморфны. Изоморфизм математических
структур играет важную роль в их изучении, поскольку позволяет сводить изу-
чение проблемы, поставленной для одной математической структуры, к иссле-
дованию той же проблемы, но поставленной для другой математической струк-
туры, ей изоморфной.
       В конце XIX в. известным русским ученым-минералогом Евграфом Сте-
пановичем Федоровым была решена задача классификации минералов. Учено-
му удалось решить эту задачу благодаря тому, что он сумел обнаружить и дока-
зать, что каждый минерал в своем молекулярном строении имеет форму много-
гранника, допускающего нетривиальную группу симметрий. Федоровым Е.С.
было установлено, что существует 230 нетривиальных конечных групп движе-
ний пространства, каждая из которых оставляет на месте какой-нибудь много-
гранник. Примерно в это же время известный немецкий математик Ф. Клейн
ставит задачу об описании свойств алгебры инвариантов некоторых конечных
групп. В первую очередь его интересуют инварианты группы симметрий пра-
вильных многогранников. В ходе решения поставленной задачи
Ф. Клейном были найдены образующие и описаны свойства алгебры инвариан-
тов группы симметрий правильного диэдра, т.е. многогранника, составленного
из двух одинаковых правильных n-угольных пирамид путем совмещения их осно-
ваний, правильного тетраэдра, октаэдра и икосаэдра.

     §15 ПОДОБИЕ И ГОМОТЕТИЯ, СВОЙСТВА. ПРИМЕНЕНИЕ
         ПОДОБИЯ И ГОМОТЕТИИ К РЕШЕНИЮ
         ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ ШКОЛЬНОГО ТИПА

      Определение 1. Подобием плоскости (пространства) с коэффициентом k >
0 называется взаимно однозначное отображение плоскости (пространства) на се-
бя, которое любые две точки M и N переводит в точки M` и N` такие, что M`N`