Геометрические преобразования в примерах и задачах. Дорофеев С.Н. - 127 стр.

                                       127

= k MN.
     Положительное число k называется коэффициентом подобия.
     Примерами подобия плоскости (пространства) могут служить движения.
Коэффициент подобия в этом случае равен 1.
     Важным примером подобия служит гомотетия.
     Определение 2. Гомотетией плоскости (пространства) с центром в точке
О и коэффициентом k называется такое отображение плоскости (пространства)
на себя, которое любую точку M переводит в точку M` такую, что OM` = k OM .
      На плоскости зададим прямоугольную декартову систему координат Оху
и рассмотрим гомотетию с центром в точке О и коэффициентом k. Произвольно
возьмем точку М. Пусть эта точка относительно ПДСК Оху имеет координаты
М(х, у). Под действием гомотетии точка М перейдет в некоторую точку M` с
координатами (x`, y`). Выразим координаты точки M` через координаты точки
М. Для этого найдем координаты векторов OM` и OM . Используя соотноше-
ние OM` = k OM , легко можно получить, что
                                    ⎧ x` = kx
                                    ⎨                                     (15.1)
                                    ⎩ y` = ky.
     Аналогичными рассуждениями можно получить формулы, выражающие
координаты образа M`(x`, y`, z`) через координаты прообраза M(x, y, z) при гомо-
тетии с центром в точке О и коэффициентом k в пространстве относительно
ПДСК Оxyz:
                                    ⎧ x`= kx,
                                    ⎪
                                    ⎨ y`= ky,                             (15.2)
                                    ⎪ z `= kz.
                                    ⎩
     Свойства гомотетии

     1. При гомотетии с центром в точке О и коэффициентом k прямая, про-
ходящая через центр гомотетии, остается инвариантной.
       2. При гомотетии с центром в точке О и коэффициентом k прямая, не
проходящая через центр гомотетии, переходит в прямую, ей параллельную.
       3. При гомотетии с центром в точке О и коэффициентом k в простран-
стве всякая плоскость, проходящая через центр гомотетии, остается инвари-
антной, а всякая плоскость, не проходящая через центр гомотетии, переходит
в плоскость, ей параллельную.
       4. Гомотетия с центром в точке О и коэффициентом k сохраняет про-
стое отношение трех точек.
       5. Гомотетия с центром в точке О и коэффициентом k переводит отре-
зок в отрезок, луч в луч, полуплоскость в полуплоскость.
       6. Гомотетия с центром в точке О и коэффициентом k в пространстве
переводит полупространство в полупространство.