Геометрические преобразования в примерах и задачах. Дорофеев С.Н. - 129 стр.

                                       129

                        ⎧ x` = xk cos α − εyk sin α + x0
                        ⎨
                        ⎩ y` = xk sin α + εyk cos α + y0 .
     Если ε = 1, то подобие называется подобием I рода, если же ε = –1, то по-
добие называется подобием II рода.
      Аналогичным образом можно получить формулы, задающие преобразо-
вание подобия в пространстве относительно ПДСК Охуz:
                        ⎧ x` = xka11 + yka12 + zka13 + x0
                        ⎪
                        ⎨ y` = xka21 + yka22 + zka23 + y0
                        ⎪ z ` = xka + yka + zka + z ,
                        ⎩          31     23      33    0

    ⎛ a11 a12 a13 ⎞
    ⎜                ⎟
где ⎜ a 21 a 22 a 23 ⎟ – ортогональная матрица третьего порядка.
    ⎜a               ⎟
    ⎝ 31 a32 a33 ⎠

     Вопросы для самопроверки

     1. Какое    преобразование      плоскости       (пространства)   называется
подобием?
      2. Какое отображение плоскости (пространства) на себя называется гомо-
тетией?
      3. Доказать, что гомотетия с центром в точке М0 и коэффициентом k яв-
ляется подобием.
      4. Вывести формулы, задающие гомотетию с центром в точке М0 и коэф-
фициентом k относительно прямоугольной декартовой системы координат Оху
на плоскости.
      5. В какую фигуру переходит прямая при гомотетии? Обоснуйте свое ут-
верждение.
      6. Что можно сказать о взаимном расположении прямой, не
проходящей через центр гомотетии и ее образа? Ответ обоснуйте.
      7. Что может служить образом середины отрезка при гомотетии?
      8. Доказать, что при гомотетии сохраняется простое отношение трех то-
чек.
      9. В какую фигуру при гомотетии преобразуется отрезок; луч; полуплос-
кость? Ответ обоснуйте.
      10. Что можно сказать об угле и его образе при гомотетии?
      11. В какую фигуру переходит окружность при гомотетии с центром, сов-
падающим с центром данной окружности? Как расположены окружность и ее
образ на плоскости?