Геометрические преобразования в примерах и задачах. Дорофеев С.Н. - 131 стр.

                                        131

переводящее треугольник АВС в треугольник A`B`C`, является подобием пер-
вого рода. Для составления формул воспользуемся формулами
                       ⎧ x` = xk cos α − yk sin α + x0
                       ⎨
                       ⎩ y` = xk sin α + yk cos α + y 0 .
      В этих формулах обозначим k cos α и k sin α через a и b , соответствен-
но. Тогда формулы подобия примут вид
                             ⎧ x ` = ax − by + x 0
                             ⎨
                             ⎩ y ` = bx + ay + y 0 .
     Для определения коэффициентов a , b , x 0 , y 0 воспользуемся тем, что рас-
сматриваемое нами подобие переводит точку А в A`, а точку В в B`. Подставляя
координаты этих точек, получим систему из четырех линейных уравнений с че-
тырьмя неизвестными:
                                 ⎧− 6 = 3b + x 0
                                 ⎪− 6 = −3a + y
                                 ⎪               0
                                 ⎨
                                 ⎪ 0 = 4a + x 0
                                 ⎪⎩ 2 = 4b + y 0 .

      Разрешив эту систему относительно неизвестных a, b, x0 , y0 , получим,
что
                          48      14        192         6
                     a=      , b = , x0 = −     , y0 = − .
                          25      25         25         25
    С учетом этих значений формулы подобия, переводящего треугольник
АВС в треугольник A`B`C`, принимают вид
                             ⎧       48     14    192
                             ⎪⎪ x` = 25 x − 25 y − 25
                              ⎨
                              ⎪ y` = 14 x + 48 y − 6 .
                              ⎪⎩     25     25     25

     Пример 2. Доказать, что прямая, проходящая через середины оснований
трапеции, проходит через точку пересечения ее боковых сторон и точку пересе-
чения ее диагоналей.
     Решение. Рассмотрим гомотетию H Sk с центром в точке S и коэффициен-
          AD
том k =      . Под действием этой гомотетии отрезок ВС перейдет в отрезок AD.
          BC
По свойству гомотетии середина М отрезка ВС перейдет в середину N отрезка
AD. Поскольку SN = k SM , то точки S, M, N принадлежат одной прямой (рис.
15.1).