Геометрические преобразования в примерах и задачах. Дорофеев С.Н. - 133 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

133
треугольника AOD перейдет в середину стороны AD. Поскольку отрезки, со-
единяющие середины смежных сторон четырехугольника ABCD, образуют па-
раллелограмм, то четырехугольник KLMN – тоже параллелограмм.
Пример 4. В произвольном четырехугольнике ABCD средняя линия MN,
соединяющая середины сторон АВ и CD, делит его на два четырехугольника.
Доказать, что середины диагоналей этих четырехугольников образуют паралле-
лограмм или лежат на одной прямой.
Решение. Прежде всего, заметим, что если данный четырехугольник
ABCD – параллелограмм, то средняя линия разбивает его на два равных парал-
лелограмма, у которых середины диагоналей лежат на одной прямой.
Пусть теперь ABCD – произвольный четырехугольник. Р, Q, R, S – сере-
дины отрезков AN, МC, BN, MD, соответственно. Для того, чтобы доказать, что
четырехугольник, образованный этими точками есть параллелограмм, доста-
точно показать
, что его диагонали пересекаются и в точке их пересечения де-
лятся пополам (рис. 15.3). Рассмотрим гомотетию
5,0
M
H . Под действием ее отре-
зок CD перейдет в отрезок QS, середина N отрезка CD перейдет в середину от-
резка QS, которая, в свою очередь, является и серединой отрезка MN. Далее
рассмотрим гомотетию
5,0
N
H . Под действием этой гомотетии отрезок АВ перей-
дет в отрезок PR, середина М отрезка АВ перейдет в середину отрезка PR, ко-
торая является серединой отрезка MN.
C
N
Q R
B
P S D
M
A
Рис. 15.3
Таким образом, мы показали, что середины диагоналей PR и QS совпада-
ют с серединой отрезка MN, значит, диагонали PR и QS пересекаются и в точке
их пересечения делятся пополам
. Следовательно, PQRS – параллелограмм.
Пример 5. Медианы АА
1
, ВВ
1
и СС
1
треугольника АВС пересекаются в
точке М; P
– произвольная точка. Прямая l
а
проходит через точку А параллель-
                                      133

треугольника AOD перейдет в середину стороны AD. Поскольку отрезки, со-
единяющие середины смежных сторон четырехугольника ABCD, образуют па-
раллелограмм, то четырехугольник KLMN – тоже параллелограмм.

      Пример 4. В произвольном четырехугольнике ABCD средняя линия MN,
соединяющая середины сторон АВ и CD, делит его на два четырехугольника.
Доказать, что середины диагоналей этих четырехугольников образуют паралле-
лограмм или лежат на одной прямой.
      Решение. Прежде всего, заметим, что если данный четырехугольник
ABCD – параллелограмм, то средняя линия разбивает его на два равных парал-
лелограмма, у которых середины диагоналей лежат на одной прямой.
      Пусть теперь ABCD – произвольный четырехугольник. Р, Q, R, S – сере-
дины отрезков AN, МC, BN, MD, соответственно. Для того, чтобы доказать, что
четырехугольник, образованный этими точками есть параллелограмм, доста-
точно показать, что его диагонали пересекаются и в точке их пересечения де-
                                                   0,5
лятся пополам (рис. 15.3). Рассмотрим гомотетию H M    . Под действием ее отре-
зок CD перейдет в отрезок QS, середина N отрезка CD перейдет в середину от-
резка QS, которая, в свою очередь, является и серединой отрезка MN. Далее
рассмотрим гомотетию H N0,5 . Под действием этой гомотетии отрезок АВ перей-
дет в отрезок PR, середина М отрезка АВ перейдет в середину отрезка PR, ко-
торая является серединой отрезка MN.



                                         C


                                                 N
                        Q        R
             B

                             P       S                     D
            M


            A
                                   Рис. 15.3
      Таким образом, мы показали, что середины диагоналей PR и QS совпада-
ют с серединой отрезка MN, значит, диагонали PR и QS пересекаются и в точке
их пересечения делятся пополам. Следовательно, PQRS – параллелограмм.

      Пример 5. Медианы АА1, ВВ1 и СС1 треугольника АВС пересекаются в
точке М; P – произвольная точка. Прямая lа проходит через точку А параллель-

Страницы