Геометрические преобразования в примерах и задачах. Дорофеев С.Н. - 134 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

134
но прямой РА
1
; прямые l
b
проходит через точку В параллельно прямой PB
1
,
прямая
l
с
проходит через точку С параллельно прямой РС
1
. Доказать, что пря-
мые
l
a
, l
b
и l
c
пересекаются в одной точке Q.
Решение. Рассмотрим гомотетию
k
H
M
с центром в точке М и коэффициен-
том
k=-2. При этой гомотетии середина А
1
стороны ВС перейдет в точку А, се-
редина В
1
стороны АС перейдет в точку В, а середина С
1
стороны АВ перейдет
в точку С (Рис.15.4).
В P
С
1
А
1
M
С
А В
1
l
c
l
b
l
a
Рис.15.4
Поскольку гомотетия переводит прямые, не проходящие через ее центр, в
прямые параллельные данным, то прямая РВ
1
перейдет в прямую l
b
, прямая
РС
1
перейдет в прямую l
c
, прямая РА
1
перейдет в прямую l
a
. Так как прямые
РА
1
, РВ
1
и РС
1
проходят через одну точку, то прямые l
b
, l
c
и l
a
, как их образы
при гомотетии, тоже проходят через одну точку.
Пример 6. Через точку А пересечения двух окружностей проведены их
диаметры АС и AD. Доказать, что прямая CD проходит через вторую точку В
пересечения окружностей.
Решение. Применим гомотетию
2
A
H с центром в точке А и коэффициен-
том
k = 2. Под действием этой гомотетии точка О
1
перейдет в точку С, а точка
О
2
перейдет в точку D. Нетрудно убедиться в том, что отрезок О
1
О
2
пересекает
отрезок АВ и делит его пополам (рис. 15.5).
A
О
1
О
2
                                          134

но прямой РА1; прямые lb проходит через точку В параллельно прямой PB1,
прямая lс проходит через точку С параллельно прямой РС1. Доказать, что пря-
мые la, lb и lc пересекаются в одной точке Q.
      Решение. Рассмотрим гомотетию H Mk с центром в точке М и коэффициен-
том k=-2. При этой гомотетии середина А1 стороны ВС перейдет в точку А, се-
редина В1 стороны АС перейдет в точку В, а середина С1 стороны АВ перейдет
в точку С (Рис.15.4).

                                 В                        P

                            С1                       А1
                                      M
                                                                   С
                        А                       В1



     lc

               lb
          la

                                      Рис.15.4

      Поскольку гомотетия переводит прямые, не проходящие через ее центр, в
прямые параллельные данным, то прямая РВ1 перейдет в прямую lb , прямая
РС1 перейдет в прямую lc, прямая РА1 перейдет в прямую la. Так как прямые
РА1, РВ1 и РС1 проходят через одну точку, то прямые lb , lc и la , как их образы
при гомотетии, тоже проходят через одну точку.

      Пример 6. Через точку А пересечения двух окружностей проведены их
диаметры АС и AD. Доказать, что прямая CD проходит через вторую точку В
пересечения окружностей.
      Решение. Применим гомотетию H A2 с центром в точке А и коэффициен-
том k = 2. Под действием этой гомотетии точка О1 перейдет в точку С, а точка
О2 перейдет в точку D. Нетрудно убедиться в том, что отрезок О1О2 пересекает
отрезок АВ и делит его пополам (рис. 15.5).


                                                     A



                                 О1
                                                              О2

Страницы