Геометрические преобразования в примерах и задачах. Дорофеев С.Н. - 135 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

135
D
С В
Рис. 15.5
При гомотетии
2
A
H середина отрезка АВ перейдет в точку В. Поскольку
середина отрезка АВ есть точка его пересечения с отрезком О
1
О
2
, то при гомо-
тетии она перейдет в точку пересечения прямой АВ с отрезком CD. Таким обра-
зом, мы установили, что точка В принадлежит отрезку CD.
Пример 7. Общие внешние касательные к парам окружностей ω
1
и ω
2
, ω
2
и
ω
3
, ω
3
и ω
1
пересекаются в точках А, В и С, соответственно. Доказать, что
точки А, В, С лежат на одной прямой(Рис.15.6).
Решение. Рассмотрим гомотетию с центром в точке А, переводящей ок-
ружность ω
1
в окружность ω
2
, и гомотетию с центром в точке В, переводящей
окружность ω
2
в окружность ω
3
. Как известно (см. свойство 7) композиция этих
гомотетий есть гомотетия, переводящая окружность ω
1
в окружность ω
3
, при-
чем центр этой гомотетии лежит на прямой AB. С другой стороны, центром
гомотетии, переводящей окружность ω
1
в окружность ω
3
, является точка С. В
самом деле точке пересечения внешних касательных соответствует гомотетия с
положительным коэффициентом, а композиция гомотетий с положительными
коэффициентами является гомотетией с положительным коэффициентом.
А
В
С
ω
3
ω
1
ω
2
                                     135




                                                                   D
              С                               В


                                  Рис. 15.5

      При гомотетии H A2 середина отрезка АВ перейдет в точку В. Поскольку
середина отрезка АВ есть точка его пересечения с отрезком О1О2 , то при гомо-
тетии она перейдет в точку пересечения прямой АВ с отрезком CD. Таким обра-
зом, мы установили, что точка В принадлежит отрезку CD.

      Пример 7. Общие внешние касательные к парам окружностей ω1 и ω2, ω2
и ω3, ω3 и ω1 пересекаются в точках А, В и С, соответственно. Доказать, что
точки А, В, С лежат на одной прямой(Рис.15.6).
      Решение. Рассмотрим гомотетию с центром в точке А, переводящей ок-
ружность ω1 в окружность ω2, и гомотетию с центром в точке В, переводящей
окружность ω2 в окружность ω3. Как известно (см. свойство 7) композиция этих
гомотетий есть гомотетия, переводящая окружность ω1 в окружность ω3, при-
чем центр этой гомотетии лежит на прямой AB. С другой стороны, центром
гомотетии, переводящей окружность ω1 в окружность ω3, является точка С. В
самом деле точке пересечения внешних касательных соответствует гомотетия с
положительным коэффициентом, а композиция гомотетий с положительными
коэффициентами является гомотетией с положительным коэффициентом.



                  А

                                              В
                                                                  С




                        ω3
        ω1




         ω2

Страницы