Геометрические преобразования в примерах и задачах. Дорофеев С.Н. - 137 стр.

                                     137

      б) точка Q лежит на одной прямой с точками G пересечения медиан и О –
центром вписанной в треугольник окружности и QG : GO = 1 : 2.
      11. Периметр параллелограмма равен 126; каждая его диагональ разделена
на три равные части. Найти периметр четырехугольника, для которого точки де-
ления являются вершинами.
      12. В трапеции точка пересечения диагоналей равноудалена от прямых,
на которых лежат боковые стороны. Доказать, что трапеция равнобедренная.
      13. Доказать, что точки, симметричные с точкой Q относительно середин
сторон четырехугольника ABCD, являются вершинами параллелограмма.
      14. Трапеции ABCD и APQD имеют общее основание AD, длины других
их оснований различны. Доказать, что на одной прямой лежат точки пересече-
ния следующих пар прямых AB и СD, АР и DQ, ВР и CQ.
      15. В четырехугольнике ABCD известны две стороны АВ = m,
CD = n. Найти периметр четырехугольника PQRS, где Р середина стороны ВС,
Q – середина стороны AD, R – середина диагонали АС, S – середина диагонали
BD.
      16. Вершины А и В параллелограмма ABCD закреплены, а вершины C и
D перемещаются. Выяснить, какую фигуру опишет точка пересечения диагона-
лей параллелограмма.
      17. Окружность ω (О, R) касается окружностей ω (О1 R1) и ω (О2, R2) в
точках А1 и А2 соответственно. Доказать, что прямая А1А2 проходит через точ-
ку пересечения общих внешних или внутренних касательных к окружностям ω
(О1 R1) и ω (О2, R2).
      18. В круге с центром в точке О проведена хорда АВ. На радиусе AD как
на диаметре построена окружность. Доказать, что площади двух сегментов, от-
секаемых хордой АВ от обоих кругов, относятся как 4 : 1.
      19. Окружность ω (О2, R2) касается внутренним образом окружности
ω(О1, R1) в точке А. В произвольной точке К окружности ω(О2, R2) к ней прове-
дена касательная. Доказать, что отрезок ВС касательной, заключенный внутри
внешней окружности ω(О1, R1), делится точкой К на отрезки, видные из точки
А под равными углами.
      20. В сегмент вписаны две окружности. Одна из них касается дуги и ос-
нования сегмента в точках А и В, другая – в точках С и D. Доказать, что поло-
жение точки пересечения прямых АВ и CD не зависит от выбора окружностей,
вписанных в сегмент.
      21. Окружность S касается равных сторон АВ и ВС равнобедренного тре-
угольника АВС в точках Р и К, а также касается внутренним образом описан-
ной окружности треугольника АВС. Доказать, что середина отрезка РК являет-
ся центром вписанной окружности треугольника АВС.
      22. Доказать, что точки, симметричные ортоцентру треугольника относи-
тельно середин его сторон, принадлежат окружности, описанной около тре-
угольника, причем эти точки служат вершинами треугольника, равного данно-
му.