Геометрические преобразования в примерах и задачах. Дорофеев С.Н. - 139 стр.

                                         139

      Доказательство. Из подобия треугольников ОАВ и ОA`B` следует, что
A`B` : AB = OA` : OB. Поскольку ОA ОА`= R2, то
                                         R2
                              A`B` = AB       .
                                        OA OB
       Следствие 3. Если A` и B` – образы точек А и В при инверсии с центром
в точке О и радиусом R, то около четырехугольника АВА`B` можно описать
окружность.
       Доказательство. Поскольку ∠ОАВ = ∠ОB`A`, ∠ОВА = ∠ОA`B`, то
∠АВB` = 180° – ∠AA`B`, ∠ВAA` = 180° – ∠BB`A`. Следовательно, в четырех-
угольнике АВА`B` сумма противоположных углов составляет 180°.
       В пространстве зададим ПДСК Оxyz с началом в центре О инверсии мно-
жества Е. Возьмем произвольно точку М. Пусть эта точка относительно ПДСК
Оxyz имеет координаты М(x, y, z). Под действием инверсии она перейдет в точ-
ку M`(x`, y`, z`). Выразим координаты (x`, y`, z`) образа M` через координаты (x,
y, z) его прообраза М. По определению инверсии, точки О, М и М` лежат на од-
ной прямой. Следовательно, векторы ОМ и ОМ` коллинеарны. Значит, суще-
ствует такое число λ, что ОМ` = λ OM . Запишем это векторное равенство в ко-
ординатной форме. Получим систему равенств:
                                x ` = λ x, y ` = λ y , z ` = λ z .         (16.1)
     Поскольку точки М и М` лежат на одном луче, то скалярное произведе-
ние ОМ ОМ` векторов ОМ и ОМ` равно R2, т.е. ОМ ОМ` = R 2 . Представим
это равенство в координатной форме: xx` + yy` + zz ` = R 2 . С учетом равенств
(16.1) получаем уравнение λx 2 + λy 2 + λz 2 = R 2 относительно λ. Из этого
уравнения легко находим, что
                                     R2
                                λ= 2          .
                                  x + y2 + z2
      Таким образом, формулы, выражающие координаты образа через коорди-
наты его прообраза, принимают следующий вид:
                                ⎧          R2x
                                ⎪ x` = 2
                                ⎪      x + y2 + z2
                                ⎪⎪         R2 y
                                 ⎨ y` = 2                                  (16.2)
                                 ⎪      x + y2 + z2
                                 ⎪         R2z
                                 ⎪ z` = 2           .
                                 ⎪⎩    x + y2 + z2

      Свойства инверсии