Геометрические преобразования в примерах и задачах. Дорофеев С.Н. - 141 стр.

                                         141

                  D( x`2 + y`2 + z `2 ) + AR 2 x` + BR 2 y` + CR 2 z ` = 0.   (16.5)
     Если плоскость π проходит через начало координат, то D = 0. Значит,
уравнение фигуры π` принимает вид
                                Ax` + By` + Cz ` = 0.
      Нетрудно заметить, что это уравнение относительно ПДСК Oxyz опреде-
ляет ту же самую плоскость π. Таким образом, мы показали, что если плоскость
проходит через центр инверсии, то она остается инвариантной. Пусть теперь
плоскость π не проходит через центр инверсии, тогда D ≠ 0. А это значит, что
уравнение (16.5) является уравнением второй степени, у которого отсутствуют
произведения вида xy, yz, xz, а коэффициенты при квадратах x, y, z равны. Сле-
довательно, это уравнение определяет сферу. Поскольку этому уравнению
удовлетворяют координаты начала ПДСК, то сфера проходит через центр ин-
версии. Таким образом, мы установили, что плоскость, не проходящая через
центр инверсии, переходит в сферу, проходящую через центр инверсии.

      3. При инверсии с центром в точке О и радиусом R прямая, проходящая
через центр инверсии, переходит в себя, а прямая, не проходящая через центр
инверсии, – в окружность, проходящую через центр инверсии.
      Доказательство. Возьмем произвольную прямую, проходящую через
точку О. Как известно, через эту прямую можно провести, по крайней мере, две
различные плоскости. Поскольку при инверсии с центром в точке О эти плоско-
сти остаются инвариантными, значит, их общая прямая тоже остается инвари-
антной.
      Возьмем теперь прямую, не проходящую через центр инверсии. Проведем
через нее две различные плоскости. Эти плоскости под действием инверсии пе-
рейдут в две различные сферы, проходящие через точку О. Поскольку сферы
имеют общую точку, значит, они пересекаются по окружности, которая прохо-
дит через центр инверсии.
      4. При инверсии сфера (окружность), проходящая через центр инверсии,
переходит в плоскость(прямую), не проходящую через центр инверсии, а сфера
(окружность), не проходящая через центр инверсии, переходит в сферу (ок-
ружность), также не проходящую через центр инверсии.
      Доказательство. Возьмем произвольную сферу ω(О, R1). Пусть эта сфера
относительно ПДСК Оxyz определяется уравнением
                        x 2 + y 2 + z 2 + ax + by + cz + d = 0 .              (16.6)
     Найдем уравнение образа этой сферы при инверсии с центром в точке О и
радиусом R. Для этого заменим в уравнении (16.6) x, y, z по формулам (16.3).
Получим: