Геометрические преобразования в примерах и задачах. Дорофеев С.Н. - 142 стр.

                                                142

                  R 4 x`2                R 4 y`2                R 4 z `2
                                 +                      +                       +
           ( x`2 + y`2 + z `2 ) 2 ( x`2 + y`2 + z `2 ) 2 ( x`2 + y`2 + z `2 ) 2
                R 2 ax`          R 2by`           R 2 cz`
                            +                +                 + d = 0.
            x`2 + y`2 + z `2 x`2 + y`2 + z `2 x`2 + y`2 + z `2
                                                                      (
     Умножим обе части уравнения на выражение x`2 + y`2 + z `2 . После эле-    )
ментарных преобразований получим уравнение
                   R 4 + R 2 ax` + R 2by` + R 2cz` + dx`2 + dy`2 + dz `2 = 0        (16.7)
     Если данная сфера проходит через центр инверсии, значит, в ее уравне-
нии свободный член d равен нулю. Тогда уравнение образа данной сферы при-
нимает вид
                                    ax` + by` + cz` + R 2 = 0 .

      Исследуя это уравнение, мы приходим к заключению, что при инверсии
всякая сфера, проходящая через центр инверсии, переходит в плоскость, не про-
ходящую через центр инверсии.
      Если данная сфера не проходит через центр инверсии, значит, в ее урав-
нении свободный член d не равен нулю. Тогда уравнение (16.7) относительно
ПДСК Oxyz определяет сферу, также не проходящую через начало системы ко-
ординат.

     Вопросы для самопроверки

      1. Какое отображение плоскости (пространства) называется инверсией?
Что такое центр инверсии?
      2. Докажите, что инверсия плоскости (пространства) является преобразо-
ванием множества.
      3. Выведите формулы, задающие инверсию пространства относительно
ПДСК с началом в центре инверсии.
      4. Имеет ли инверсия плоскости (пространства) инвариантные точки? Что
собой представляет фигура, состоящая из инвариантных точек инверсии плос-
кости (пространства)?
      5. Докажите, что при инверсии всякая прямая, проходящая через центр
инверсии, инвариантна.
      6. Докажите, что при инверсии пространства всякая плоскость, проходя-
щая через центр инверсии, инвариантна.
      7. Какая фигура может служить образом отрезка при инверсии?
      8. Какая фигура может служить образом квадрата при инверсии плоско-
сти?
      9. Докажите, что при инверсии всякая сфера, проходящая через центр ин-
версии, переходит в плоскость, не проходящую через центр инверсии.