Геометрические преобразования в примерах и задачах. Дорофеев С.Н. - 144 стр.

                                          144



                            А
                                                                   М



                        О        М`



                                   В
                                       Рис. 16.2
     Проведем через точку M две касательные к окружности ω(O, R). Обозна-
чим точки их касания с окружностью инверсии через А и В. Тогда незамкнутый
луч ОМ пересечет отрезок АВ в точке M`. Это и есть образ точки М. Действи-
тельно, точки О, М и M` лежат на одной прямой по построению. Далее обозна-
чим через α величину угла ∠АМО. Тогда величина угла ∠ОАМ` = α. Следова-
                 R
тельно, ОМ =         , OM` = R sin α . Откуда, легко получаем, что OM ⋅ OM`= R 2 . Та-
               sin α
ким образом, мы показали, что точка M` является образом точки М при инверсии
с центром в точке О и радиусом R.
      Аналогичным образом можно построить образ точки М, если М – внут-
ренняя точка окружности инверсии. Важно только помнить, что в этом случае
образ точки М будет лежать во внешней части окружности.
      Пример 2. Построить образ прямой, не проходящей через центр О ин-
версии радиуса R.
      Решение. Произвольно возьмем прямую d, не проходящую через центр О
инверсии. Возможны следующие случаи расположения прямой d относительно
окружности инверсии: 1) прямая d пересекает окружность инверсии в двух раз-
личных точках; 2) прямая d касается окружности инверсии; 3) прямая d не
имеет общих точек с окружностью инверсии. Рассмотрим первый случай, когда
прямая d пересекает окружность инверсии в двух различных точках А и В. По-
скольку при инверсии с центром в точке О и радиусом R все точки окружности
инверсии остаются на месте, то образом прямой d при инверсии будет служить
окружность, описанная около треугольника ОАВ. Теперь рассмотрим второй
случай, когда прямая d касается окружности инверсии в некоторой точке М .
При нашей инверсии эта точка остается на месте. Для построения окружности –
образа прямой d нам необходимо иметь еще одну точку. На прямой d произ-
вольно возьмем точку N , отличную от точки М и построим ее образ. Для этого
воспользуемся алгоритмом, описанным в примере 1. Через точку N проведем
касательную к окружности инверсии. Соединим отрезком точку касания с точ-
кой М . Точка N` пересечения этого отрезка с прямой ОN является образом
точки N (Рис.16.3).