Геометрические преобразования в примерах и задачах. Дорофеев С.Н. - 143 стр.

                                     143

      10. Как можно построить, используя циркуль и линейку, образ окружно-
сти, не проходящей через центр инверсии плоскости?
      11. Как можно построить образ сферы, не проходящей через центр инвер-
сии пространства?
      12. Докажите, что при инверсии всякая окружность, не проходящая через
центр инверсии, переходит в окружность. Как эта окружность расположена по
отношению к центру инверсии?
      13. Докажите, что при инверсии пространства сфера, не проходящая через
центр инверсии, переходит в сферу. Как эта сфера расположена по отношению
к центру инверсии?
      14. Инверсия плоскости задана точкой О и радиусом r. Внутри окружно-
сти инверсии взята точка В, а вне ее на луче ОВ взята точка А. Может ли точка
А служить образом точки В? Если да, то в каком случае? Сформулируйте и от-
ветьте на аналогичный вопрос для инверсии пространства.
      15. Инверсия переводит точку А в себя. Как расположена эта точка по
отношению к окружности (сфере) инверсии?
      16. Образ прямой m при инверсии плоскости проходит через центр инвер-
сии. Как может быть расположена сама прямая m по отношению к центру ин-
версии? Сформулируйте и ответьте на аналогичный вопрос для инверсии про-
странства.
      17. Сфера проходит через центр инверсии пространства. Какая фигура
может служить ее образом? Как эта фигура расположена по отношению к цен-
тру инверсии? Сформулируйте и ответьте на аналогичный вопрос для инверсии
плоскости.
      18. В пространстве даны две сферы, не имеющие общих точек и не прохо-
дящие через центр инверсии. Может ли одна из них служить образом другой при
инверсии? Если да, то при каких условиях? Сформулируйте и ответьте на анало-
гичный вопрос для инверсии плоскости.
      19. На плоскости даны окружность и прямая, не имеющая общих точек с
окружностью. Центр инверсии плоскости принадлежит окружности. Может ли
окружность служить образом прямой при инверсии плоскости? Сформулируйте
и ответьте на аналогичный вопрос для инверсии пространства.

     Решение примеров

      Пример 1. На плоскости задана окружность ω(О, R). Пусть f – инверсия с
центром в точке О и радиусом R (рис.16.2). Построить образ какой-нибудь точ-
ки М.
      Решение. Рассмотрим возможные случаи расположения точки М относи-
тельно окружности инверсии. Прежде всего, заметим, что если точка М лежит
на окружности инверсии, то она неподвижна. Значит, ее образ совпадает с про-
образом. Пусть теперь точка М лежит вне окружности, например в ее внешней
части. По свойству инверсии образ этой точки должен лежать во внутренней
части окружности инверсии.