Геометрические преобразования в примерах и задачах. Дорофеев С.Н. - 140 стр.

                                         140



      1. Если f есть инверсия множества Е, то f 2 является тождественным
преобразованием.
      Доказательство. Пусть f есть преобразование инверсии. Возьмем произ-
вольную точку М из множества Е. Под действием инверсии f эта точка перейдет
в некоторую точку M`, а точка M` под действием инверсии f перейдет в точку
M``.        Из        определения         инверсии       следует,       что
             2              2
ОМ ОМ` = R , ОМ`OM`` = R . Поскольку правые части этих равенств одинако-
вы, значит, равны и их левые части т.е. ОМ ОМ` = OM` OM``. Поделим обе час-
ти этого равенства на OM`. Получим, что ОМ = ОМ``. Поскольку точки М и М`
лежат по одну сторону от точки О, следовательно, точка М совпадает с точкой
M``.

      2. При инверсии с центром в точке О и радиусом R плоскость, проходя-
щая через центр инверсии, остается инвариантной, а плоскость, не проходя-
щая через центр инверсии, переходит в сферу, проходящую через центр инвер-
сии.
      Доказательство. В пространстве возьмем произвольную плоскость π.
Пусть эта плоскость относительно ПДСК Оxyz определяется уравнением
Ax + By + Cz + D = 0. Под действием инверсии, задаваемой формулами (16.2),
эта плоскость перейдет в некоторую фигуру π`. Для того, чтобы найти уравне-
ние этой фигуры относительно ПДСК Оxyz, воспользуемся свойством 1. По-
скольку квадрат инверсии является тождественным преобразованием, значит,
она обратима, т.е. f = f −1 . Следовательно, справедливы формулы:

                                 ⎧        R 2 x`
                                 ⎪x = 2
                                 ⎪    x` + y`2 + z `2
                                 ⎪⎪       R 2 y`
                                  ⎨y = 2                                      (16.3)
                                  ⎪   x` + y`2 + z `2
                                  ⎪       R 2 z`
                                  ⎪z = 2              .
                                  ⎪⎩  x` + y`2 + z `2
     Найдем уравнение фигуры π` относительно ПДСК Оxyz. Для этого в урав-
нении плоскости π заменим x, y, z по формулам (16.3). Получим:
                    AR 2 x`          BR 2 y`          CR 2 z `
                                +                +                 + D = 0.   (16.4)
                x`2 + y`2 + z `2 x`2 + y`2 + z `2 x`2 + y`2 + z `2
      Поскольку для всех точек множества Е x `2 + y `2 + z `2 ≠ 0, то, умножая обе
части уравнения (16.4) на x `2 + y `2 + z `2 , получим, что относительно ПДСК Oxyz
фигура π` определяется уравнением вида