Геометрические преобразования в примерах и задачах. Дорофеев С.Н. - 138 стр.

                                     138

     23. Прямая, параллельная стороне АВ треугольника АВС, отсекает от не-
го треугольник МСN. Доказать, что окружности, описанные около треугольни-
ков АВС и MCN, касаются.
      24. На катетах а и b прямоугольного треугольника АВС, как на диамет-
рах, построены две окружности. Найти длину отрезка, соединяющего точки пе-
ресечения этих окружностей.


     §16 ИНВЕРСИЯ И ЕЕ СВОЙСТВА

      На евклидовой плоскости (пространстве) зададим окружность (сферу) ω(О,
R) с центром в точке О и радиусом R. Рассмотрим множество E, состоящее из
всех точек плоскости (пространства), кроме точки О.
      Определение 1. Инверсией множества Е называется такое взаимно одно-
значное отображение множества Е на себя, при котором любая точка М переходит
в точку M`, лежащую на луче ОМ, и такую, что ОМ⋅ОМ` = R2.
      Точка О называется центром инверсии, а положительное число R радиу-
сом инверсии.

      Теорема 1. Если при инверсии с центром в точке О точки А и В переходят
в точки A` и B`, соответственно, то ∠ОАВ = ∠ОB`A` (рис. 16.1).
      Доказательство.
                                      А`

                           А



               О
                          B
                                                      B`
                                  Рис. 16.1
      Из определения инверсии следует, что ОA ОА` = R2, ОВ ОВ` = R2. Из
этих соотношений получаем, что ОА : OB = OB` : OA`. Так как для треугольни-
ков ОАВ и ОA`B` угол О общий, значит, эти треугольники подобны. Следова-
тельно, ∠ОАВ = ∠ОB`A`.
      Следствие 1. Если при инверсии с центром в точке О точки А и В пере-
ходят в точки А` и B`, то ∠ОВА = ∠ОА`В`.
      Следствие 2. Если при инверсии с центром в точке О точки А и В пере-
ходят в точки А` и B`, то
                                         R2
                              A`B` = AB       .
                                        OA OB