Геометрические преобразования в примерах и задачах. Дорофеев С.Н. - 136 стр.

                                      136

                                Рис.15.6

     Упражнения и задачи для самостоятельного выполнения

     1. Прямая m пересекает стороны угла АВС в точках К и L, а параллельная
ей прямая n – в точках N и M. Доказать, что перпендикуляры, проведенные к
сторонам угла в точках К и L, M и N, пересекаются в точках, лежащих на одной
прямой с точкой В.
      2. Точка D принадлежит медиане АА1 треугольника АВС. Прямые ВD и
СD пересекают стороны АС и АВ в точках В1 и C1. Доказать, что прямые ВС и
В1С1 параллельны.
      3. На основании ВС треугольника АВС от его вершин В и С отложены
равные отрезки, через концы которых проведены прямые, параллельные боко-
вым сторонам. Доказать, что эти прямые пересекаются на прямой АМ, где М –
середина ВС.
      4. При параллельном переносе треугольник АВС переходит в треуголь-
ник А1В1С1. Доказать, что отрезки АМ1, BN1, CP1, где M1, N1, P1 – середины сто-
рон B1C1, C1A1, A1B1, пересекаются в одной точке.
      5. На основании ВС треугольника АВС от его вершин В и С отложены
равные отрезки, через концы которых проведены прямые, параллельные боко-
вым сторонам. Доказать, что точка пересечения этих прямых лежит на прямой
АМ, где М – середина ВС.
      6. Дан треугольник АВС. В точках пересечения прямых, содержащих его
биссектрисы, с описанной около треугольника окружностью проведены каса-
тельные к окружности. Доказать, что образованный этими касательными тре-
угольник гомотетичен треугольнику АВС.
      7. Из произвольной точки О опущены перпендикуляры QM, QN и QP на
прямые АВ, ВС и СА, содержащие стороны треугольника АВС. Через середины
отрезков МQ, NQ и PQ проведены прямые, параллельные соответствующим
сторонам треугольника. Доказать, что треугольник, образованный пересечени-
ем этих прямых, равен треугольнику с вершинами в серединах сторон тре-
угольника АВС.
      8. Пусть Р – произвольная точка плоскости, А2, В2, С2 – точки, симмет-
ричные с точкой Р относительно середин А1, В1, С1 сторон ВС, СА, АВ тре-
угольника АВС. Доказать, что отрезки АА2, ВВ2 и СС2 проходят через одну точ-
ку и делятся ею пополам.
      9. Медианы АА1, ВВ1 и СС1 треугольника АВС пересекаются в точке М; P
– произвольная точка. Прямая 1а проходит через точку А параллельно прямой
РА1; прямые 1b и 1с определяются аналогично. Доказать, что точка М лежит на
отрезке РQ, причем РМ : МQ = 1 : 2.
      10. Через середины В, Е и F сторон треугольника АВС проведены прямые,
параллельные биссектрисам противолежащих углов. Доказать, что:
      а) эти прямые пересекаются в точке Q;