Геометрические преобразования в примерах и задачах. Дорофеев С.Н. - 132 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

132
S
B M C
O
A N D
Рис. 15.1
Теперь рассмотрим гомотетию
m
H
O
, где m = –
BC
AD
. Под действием этой
гомотетии отрезок ВС перейдет в отрезок AD, а середина М отрезка ВС перей-
дет в середину N отрезка AD. Так как
OMON m
=
, то точки О, М, N принад-
лежат одной прямой. Таким образом, установили, что точки S, M, N, O принад-
лежат одной прямой.
Пример 3. Четырехугольник ABCD разрезан диагоналями на четыре тре-
угольника. Доказать, что точки пересечения их медиан образуют параллело-
грамм.
Решение. Рассмотрим гомотетию
k
H
O
с центром в точке О пересечения
диагоналей параллелограмма и коэффициентом
2
3
=k
(Рис.15.2).
В С
N
M
K
L D
A
Рис.15.2
При этой гомотетии точка М пересечения медиан треугольника COD пе-
рейдет в середину стороны CD, точка N пересечения медиан треугольника
ВОС перейдет в середину стороны ВС, точка К пересечения медиан треуголь-
ника АОВ перейдет в середину стороны АВ, а точка L пересечения медиан 
                                       132

                          S




                 B                 M           C

                               O

             A                             N                    D

                                 Рис. 15.1
                                                       AD
     Теперь рассмотрим гомотетию H Om , где m = –         . Под действием этой
                                                       BC
гомотетии отрезок ВС перейдет в отрезок AD, а середина М отрезка ВС перей-
дет в середину N отрезка AD. Так как ON = mOM , то точки О, М, N принад-
лежат одной прямой. Таким образом, установили, что точки S, M, N, O принад-
лежат одной прямой.

     Пример 3. Четырехугольник ABCD разрезан диагоналями на четыре тре-
угольника. Доказать, что точки пересечения их медиан образуют параллело-
грамм.
     Решение. Рассмотрим гомотетию H Ok с центром в точке О пересечения
                                                   3
диагоналей параллелограмма и коэффициентом k = (Рис.15.2).
                                                   2

                      В                            С
                                           N

                                               M
                          K

                                       L                   D

             A
                                 Рис.15.2

     При этой гомотетии точка М пересечения медиан треугольника COD пе-
рейдет в середину стороны CD, точка N пересечения медиан треугольника
ВОС перейдет в середину стороны ВС, точка К пересечения медиан треуголь-
ника АОВ перейдет в середину стороны АВ, а точка L пересечения медиан

Страницы