Геометрические преобразования в примерах и задачах. Дорофеев С.Н. - 130 стр.

                                        130

     12. В какую фигуру переходит сфера при гомотетии с центром, совпа-
дающим с центром в данной сфере? Как расположены сфера и ее образ при го-
мотетии?
      13. В какую фигуру переходит правильный тетраэдр при гомотетии с цен-
тром в точке пересечения его высот и коэффициентом 2? Как относятся объемы
данного тетраэдра и его образа?
      14. Что можно сказать об угле между двумя прямыми и об угле между их
образами при гомотетии с центром в какой-нибудь точке О; об угле между дву-
мя плоскостями при гомотетии с центром в какой-нибудь точке О?
      15. В какую фигуру переходит пара параллельных прямых при гомотетии
с центром в какой-нибудь точке М; пара параллельных плоскостей при гомоте-
тии с центром в какой-нибудь точке О?
      16. Вывести формулы подобия в пространстве относительно ПДСК Охуz.
      17. Сколько инвариантных точек имеет подобие?

     Решение примеров

      Пример 1. Относительно ПДСК Оху вершины треугольников АВС и
A`B`C` заданы своими координатами А(0, –3), В(4, 0), С(1, –1), A`(–6, –6), B`(0,
          26    8
2), C`( −    , − ). Доказать, что треугольники АВС и A`B`C` подобны. Найти
           5    5
формулы подобия.
      Решение. Используя формулу

                       M1M 2 = ( x2 − x1 ) 2 + ( y2 − y1 ) 2
вычисления расстояния между двумя точками М1 и М2, заданными своими ко-
ординатами, найдем длины сторон треугольников АВС и A`B`C`. После не-
сложных вычислений можно получить, что
                    AB = 5,       BC = 10 ,       AC = 5 ,
                    A`B`= 10, B`C`= 2 10 , A`C`= 2 5.
      Нетрудно заметить, что соответствующие стороны треугольника АВС
пропорциональны соответствующим сторонам треугольника A`B`C`. Значит,
эти треугольники подобны. Теперь определим род подобия. Для этого доста-
точно показать, что треугольники АВС и A`B`C` одинаково ориентированы.
Рассмотрим векторы AB ( 4, 3) и AC ( 1, 2 ) . Определитель матрицы, состав-
ленный из координат этих векторов, положителен. Значит, система координат
( A, AB, AC) одинаково ориентирована с ПДСК Оху. Аналогичным образом
можно показать, что система координат ( A`, A`B`, A`C`) одинаково ориенти-
рована   с   ПДСК    Оху.   Значит,    системы     координат   ( A, AB, AC)   и
( A`, A`B`, A`C`) тоже одинаково ориентированы. Следовательно, подобие,