Геометрические преобразования в примерах и задачах. Дорофеев С.Н. - 128 стр.

                                        128

     7. Композиция двух гомотетий с коэффициентами k1 и k2 есть гомоте-
тия с коэффициентом k1k2 и центром, лежащим на прямой, соединяющей цен-
тры этих гомотетий.
      8. Гомотетия с центром в точке О и коэффициентом k является подо-
бием с коэффициентом ⏐k⏐.
      Доказательство. На плоскости или в пространстве возьмем две различ-
ные точки M и N. Пусть под действием гомотетии с центром в точке О и коэф-
фициентом k эти точки переходят в точки M` и N`. Рассмотрим векторы MN и
M`N`. Поскольку
MN = ON − OM, M`N` = ON` − OM`, ON` = k ON, OM` = k OM, то   M`N` = k MN . Отсюда
следует, что M`N` = ⏐k⏐MN.
       Теорема 1. Всякое подобие с коэффициентом k плоскости или простран-
ства можно представить в виде композиции движения и гомотетии с центром в
какой-нибудь точке M0 и коэффициентом k.
       Доказательство. Пусть р есть преобразование подобия с коэффициентом k,
которое переводит точку M в точку M`, а точку N в точку N`. Тогда M`N` = kMN.
Наряду с подобием р рассмотрим гомотетию h с центром в произвольной точке M0
и коэффициентом k. Под действием гомотетии точка М перейдет в некоторую точку
M``, а точка N – в точку N``. Поскольку M``N`` = k MN , то M``N`` = kMN. Таким
образом, M``N`` = M`N`. Так как р(М) = М`, p(N) = N`, h(M) = M``, h(N) = N``,
то                  М                  =               h–1               (M``),
          –1                     –1                 –1
N = h (N``). Откуда р(h (M``)) = M`, p(h                 (N``))=N`. Поскольку
M``N`` = M`N`, то композиция р o h есть движение, т.е. р o h–1= ∂. Следова-
                                       -1

тельно, р = ∂ o h. Таким образом, мы показали, что всякое подобие р с коэффи-
циентом k можно представить в виде композиции гомотетии h с тем же самым
коэффициентом k и движения ∂.             Теорема доказана.
       Опираясь на данную теорему, свойства движения и гомотетии, можно
сформулировать ряд свойств, которыми обладает преобразование подобия
плоскости (пространства). Однако прежде, чем сформулировать эти свойства,
получим формулы, задающие подобие плоскости (пространства) относительно
ПДСК Оху на плоскости. Мы уже знаем, что всякое подобие р можно предста-
вить в виде композиции гомотетии h с центром в начале координат и движения
∂. Если относительно ПДСК Оху гомотетия h с центром в точке О и коэффици-
ентом k определяется формулами (15.1), а движение ∂ формулами
                          ⎧ x` = x cos α − εy sin α + x0
                          ⎨
                          ⎩ y` = x sin α + εy cos α + y0 ,
то подобие плоскости относительно этой же системы координат будет опреде-
ляться формулами вида