Геометрические преобразования в примерах и задачах. Дорофеев С.Н. - 27 стр.

                                      27

                                                   D
                             d




                              T`


                 M`
                                   Рис. 3.1
      Покажем, что осевая симметрия сохраняет расстояния между любыми
двумя точками. Для этого рассмотрим осевую симметрию Sd c осью d и произ-
вольно возьмем две точки М и Т. Пусть M` и T` – образы этих точек при осевой
симметрии Sd. Возможны два случая расположения отрезка МТ относительно
оси d. Рассмотрим первый случай, когда отрезок МТ параллелен оси d. Тогда
четырехугольник МТТ`M` – прямоугольник. Следовательно, МТ = M`T`. Пусть
теперь отрезок МТ не параллелен оси d. Обозначим через D точку пересечения
прямой МТ с осью d. Из определения осевой симметрии следует, что прямая d
перпендикулярна отрезкам MM` и TT` и проходит через их середины. А это
значит, что высоты треугольников DTT` и DMM`, опущенные из вершины D,
лежат на одной прямой и являются медианами и высотами этих треугольников.
Значит, треугольники DMM` и DTT` равнобедренные. Следовательно, DM =
DM`, DT = DT`. Откуда, МТ = M`T`. Таким образом, мы показали, что осевая
симметрия сохраняет расстояния между любыми двумя точками, т.е. является
движением.
      На плоскости рассмотрим осевую симметрию Sd c осью d. Зададим пря-
моугольную декартову систему координат Оху так, чтобы точка О лежала на
прямой d, а за ось Ох примем направленную прямую, определяемую прямой d.
Ось ординат Оу выберем таким образом, чтобы она проходила через точку О и
была перпендикулярна прямой d. На плоскости произвольно возьмем точку М с
координатами (x, у) относительно системы координат Оху. Под действием
осевой симметрии точка М перейдет в некоторую точку M` с координатами (x`,
y`). Найдем формулы, выражающие координаты точки M` через координаты
точки М. Прежде всего обратим внимание на то, что отрезок MM` параллелен
оси ординат, значит, первые координаты точек M и M` совпадают. Поскольку
отрезок MM` в точке пересечения с осью абсцисс делится пополам,
следовательно, вторые координаты этих точек отличаются только знаком.
Таким образом, мы показали, что
                                     ⎧ x` = x
                                     ⎨                                 (3.1)
                                     ⎩ y` = − y.