Геометрические преобразования в примерах и задачах. Дорофеев С.Н. - 28 стр.

                                          28

     При решении некоторых задач, связанных с осевой симметрией Sm иногда
полезно использовать формулы, задающие эту симметрию относительно пря-
моугольной декартовой системы координат Oxy в более общем виде. Для этого
на плоскости зададим прямоугольную декартову систему координат Охy и рас-
смотрим осевую симметрию Sm с осью m, заданной относительно системы ко-
ординат Oxy уравнением ax + by + c = 0 . Возьмем произвольную точку М(x,y) с
координатами (x,y) относительно системы координат Oxy. Под действием осе-
вой симметрии Sm с осью m эта точка перейдет в некоторую точку M`(x`,y`).
Вектор MM ( x`− x, y`− y ) коллинеарен вектору n ( A, B) нормали к прямой m. А
это значит, что существует такое число t, что MM = t n . Это векторное равен-
ство равносильно системе равенств

                                      x` = x + tA,
                                      y` = y + tB,
связывающей координаты векторов MM и n . С учетом этих равенств и того,
что середина отрезка MM` лежит на прямой m, получаем что
                                          2( Ax + By + C )
                                t   = −                    .
                                              A2 + B 2
       Подставляя полученное значение t в предыдущие соотношения, получаем
формулы, выражающие координаты (x`,y`) образа точки M через ее координаты
(x,y):
                        ⎧             2 A( Ax + By + C )
                        ⎪⎪  x ` = x −                    ,
                                           A2 + B 2            (3.1`)
                         ⎨
                         ⎪ y` = y − 2 B( Ax + By + C ) .
                         ⎪⎩              A2 + B 2

      Используя эти формулы и формулы (3.1) можно сформулировать и дока-
зать некоторые свойства осевой симметрии.

     Свойства осевой симметрии

      1. При осевой симметрии прямая переходит в прямую, при этом парал-
лельные прямые переходят в параллельные прямые.
      Доказательство. На плоскости рассмотрим осевую симметрию Sd c осью
d. Зададим ПДСК Оху так, как было указано выше. Относительно этой системы
координат осевая симметрия Sd будет задана формулами (3.1). На плоскости
произвольно возьмем прямую m. Пусть относительно системы координат Оху эта
прямая определяется уравнением ах + by + c = 0. Под действием симметрии Sd эта
прямая перейдет в некоторое множество m` точек плоскости. Найдем уравнение
этого множества относительно заданной системы координат Оху. Для этого из
формул (3.1) выразим х и у через x` и y` и полученные значения х и у подставим
в уравнение прямой m. Получим, что относительно системы координат Оху