Геометрические преобразования в примерах и задачах. Дорофеев С.Н. - 30 стр.

                                         30



     3. При осевой симметрии отрезок переходит в отрезок, луч – в луч, полу-
плоскость – в полуплоскость.
      4. При осевой симметрии угол переходит в равный ему угол.
      5. При осевой симметрии с осью d всякая прямая, перпендикулярная оси d
остается на месте.
      6. При осевой симметрии ортонормированный репер переходит в орто-
нормированный репер. При этом точка М с координатами х и у относительно
репера R переходит в точку M` с теми же самыми координатами х и у, но от-
носительно репера R`.
      7. Осевая симметрия плоскости переводит правый ортонормированный
репер в левый и, наоборот, левый ортонормированный репер – в правый.
      8. Композиция двух осевых симметрий плоскости с параллельными осями
есть параллельный перенос на вектор, перпендикулярный данным прямым, дли-
на которого в два раза больше расстояния между данными прямыми
      Доказательство. Пусть расстояние между параллельными прямыми m и
n равно c. Зададим на плоскости прямоугольную декартову систему координат
Oxy так, что ее начало О лежит на прямой m, ось Ох совпадает с прямой m, а ось
Оy перпендикулярна прямой m. Относительно выбранной системы координат
осевая симметрия Sm с осью m задается формулами:
                          ⎧ x` = x,
                          ⎨
                          ⎩ y` = − y,
а осевая симметрия с осью n формулами:
                          ⎧ x` = x,
                          ⎨
                          ⎩ y` = − y     +    2c.
На плоскости произвольно возьмем точку M(x,y). Под действием осевой сим-
метрии Sm с осью m эта точка перейдет в точку M`(x`,y`), связанными с коорди-
натами точки M соотношениями:
                           ⎧ x` = x,
                           ⎨
                           ⎩ y` = − y.
Точка M` под действием осевой симметрии Sn с осью n перейдет в точку
M``(x``,y``) с координатами (x``,y``) , которые с координатами (x`,y`) точки M
связаны соотношениями:
                           ⎧ x`` = x`,
                           ⎨
                           ⎩ y`` = − y` +           2c.
С учетом предыдущих соотношений получаем, что координаты (x``,y``) точки
M`` связаны с координатами (x, y) точки M условиями:
                           ⎧ x`` = x,
                           ⎨
                           ⎩ y`` = y +        2c,
из которых следует, что композиция осевых симметрий Sm и Sn с осями m и n
является параллельным переносом на вектор перпендикулярный этим осям и
имеющим длину 2c в два раза превышающей расстояние между данными пря-
мыми.