Геометрические преобразования в примерах и задачах. Дорофеев С.Н. - 32 стр.

                                     32

       На плоскости зададим прямую d и ненулевой вектор a , параллельный
прямой d. Рассмотрим композицию осевой симметрии с осью d и параллельного
переноса на вектор a . Полученное преобразование плоскости сохраняет рас-
стояние между ее любыми двумя точками и называется скользящей симметри-
ей. Скользящая симметрия обладает свойствами, присущими одновременно и
параллельному переносу и осевой симметрии.,

     Свойства скользящей симметрии

       1. При скользящей симметрии прямая переходит в прямую, при этом па-
раллельные прямые переходят в параллельные прямые.
       2. При скользящей симметрии с осью d прямая d остается инвариант-
ной, т.е. переходит в себя.
       3. Скользящая симметрия сохраняет простое отношение трех точек.
При скользящей симметрии отрезок переходит в отрезок, луч – в луч, полу-
плоскость – в полуплоскость.
       4. При скользящей симметрии угол переходит в равный ему угол.
       5. При скользящей симметрии ортонормированный репер переходит в
ортонормированный репер. При этом точка М с координатами х и у относи-
тельно репера R переходит в точку M` с теми же самыми координатами х и
у, но относительно репера R`.
       6. Скользящая симметрия плоскости переводит правый ортонормиро-
ванный репер в левый и, наоборот, левый ортонормированный репер – в пра-
вый.
       7. Скользящую симметрию плоскости можно представить в виде компо-
зиции трех осевых симметрий.
       Рассмотрим преобразование плоскости – скользящую симметрию с осью
d и вектором a , зададим ортонормированный репер R = {О, А1, А2 } так, чтобы
точки О и А1 принадлежали прямой d, а точка А2 принадлежала прямой, пер-
пендикулярной прямой d и проходящей через точку О. Тогда относительно этой
специальным образом выбранной системы координат скользящая симметрия
будет определяться формулами:
                                  ⎧ x` = x + а
                                  ⎨                                    (3.3)
                                  ⎩ y` = − y,
в которых число а является первой координатой вектора a .

     Вопросы и задания для самопроверки

     1. Что такое осевая симметрия?
     2. Доказать, что осевая симметрия является движением.
     3. Вывести формулы, задающие осевую симметрию относительно прямо-
угольной декартовой системы координат Оху.