Геометрические преобразования в примерах и задачах. Дорофеев С.Н. - 31 стр.

                                                    31

     9. Если m и n параллельные прямые, то существует такой параллельный
перенос Ta на вектор a , что S m = Ta o S n = S n o Ta−1 .
     Доказательство. По свойству 7 в качестве вектора а можно взять век-
тор перпендикулярный прямым m и n, длины в два раза большей, чем рас-
стояние между данными прямыми. Поскольку S m o Sn = Ta , а Sn o Sm = Ta−1 , то
Sm   = T o Sn и Sm       = S n o T −1 .
        a                          a

      10. Для осевой симметрии S m с произвольной осью m и параллельного пере-
носа Ta на вектор a найдется такой вектор b , что S m o Ta = Tb o S m .
Доказательство. Рассмотрим осевую симметрию Sm с осью m и параллельный
перенос Ta на вектор a .


                                 M`

                     a
                                                         a
              M                                                  m

                                                             b




                         M```      b
                                              M``

                                    Рис.3.2


Произвольно на плоскости возьмем точку M. Тогда под действием композиции
S m o T , определяемой параллельным переносом T на вектор a и осевой сим-
       a                                       a
метрией Sm с осью m точка М перейдет вначале в точку M`, а затем в точку M``.
Под действием осевой симметрии Sm точка М перейдет в точку M```. Четырех-
угольник MM`M``M``` является равнобедренной трапецией. Значит, отрезки
MM` и M```M`` симметричны друг другу относительно прямой m. Следова-
тельно, в качестве вектора b , определяющего параллельный перенос Tb , можно
взять вектор, длина которого равна длине вектора a и который образует с пря-
мой m такой же угол что и вектор a .