Геометрические преобразования в примерах и задачах. Дорофеев С.Н. - 29 стр.

                                             29

множество m` определяется уравнением ах – bу + с = 0. Это уравнение является
уравнением первой степени и, следовательно, определяет прямую.
     Покажем теперь, что при осевой симметрии параллельные прямые пере-
ходят в параллельные прямые. Для этого возьмем какие-нибудь две параллель-
ные между собой прямые d1 и d2. Относительно системы координат эти прямые
могут быть заданы уравнениями вида
                                 d1 : аx + by + c1 = 0,
                                 d2 : ax + by + c2 = 0.
      Под действием осевой симметрии, задаваемой формулами (3.1), эти пря-
мые перейдут в прямые, определяемые относительно системы координат Оху
уравнениями – d1` : ax – by + c1 = 0, d2` : ax – by + c2 = 0.
      Уравнения прямых d1` и d2` отличаются только свободными членами, а
это значит, что эти прямые параллельны.

      2. Осевая симметрия сохраняет простое отношение трех точек.
      Доказательство. На плоскости возьмем три точки M1, M2 и М, лежащие
на одной прямой. Пусть точка М делит отрезок М1М2 в отношении λ ≠ –1. Зада-
дим на плоскости осевую симметрию Sd с осью d. При осевой симметрии Sd точ-
ки M1, M2 и М перейдут в некоторые точки M1`, M2` и М`. Требуется показать,
что точка М` делит отрезок M1`M2` в том же самом отношении, что и точка М
делит отрезок M1M2. Зададим ПДСК Оху так, как было сделано выше. Тогда от-
носительно этой системы координат осевая симметрия Sd будет определяться
формулами (3.1). Если относительно заданной системы координат точки M1, M2
и М имеют, соответственно, координаты М1( x1 , y1 ), M2( x2 , y2 ), M( x, y ), то с уче-
том того, что точка М делит отрезок M1M2 в отношении λ ≠ –1, получаем
                                      ⎧       x1 + λx2
                                      ⎪⎪  x =
                                                1+ λ
                                       ⎨                                           (3.2)
                                       ⎪ y = y1 + λy 2 .
                                       ⎪⎩       1+ λ
     Используя формулы (3.1), выразим координаты точек M1, M2 и М через
координаты ( x1 `, y1 ` ), ( x2 `, y2 `), ( x`, y`) точек M1`, M2` и М`, соответственно.
После преобразований получаем, что координаты точек M1`, M2` и М` связаны
соотношениями
                                   ⎧        x1 `+λx2 `
                                   ⎪⎪ x`=     1+ λ
                                    ⎨
                                    ⎪ y`=   y1 `+ λy2 `
                                    ⎪⎩                  ,
                                              1+ λ
из которых следует, что точка М` делит отрезок М1`M2` в том же самом отно-
шении λ, что и точка М делит отрезок М1М2.