Геометрические преобразования в примерах и задачах. Дорофеев С.Н. - 34 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

34
А
С
B`
Рис. 3.3
При симметрии, определяемой этой прямой, точка В переходит в точку
В`, лежащую на прямой АС. Рассмотрим треугольник AМB`, который опреде-
ляется вершиной А данного треугольника, точкой М и точкой B` (рис. 3.3).
Применяя неравенство треугольника, получаем, что
АМ + МВ` > АВ`. Поскольку MB`=MB, а АВ` = АС + ВС, то требуемое
нера-
венство доказано.
Пример 2. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием ВС точка
Е является центром вписанной окружности. Прямые СЕ и ВЕ пересекают ок-
ружность, описанную около треугольника АВС в точках D и F. Доказать, что
ЕDAF – ромб.
Решение. Применим осевую симметрию с осью АЕ.
А
D F
Е
В С
Рис. 3.4
Поскольку
точки А и Е лежат на оси, значит, они инвариантны, т.е. пере-
ходят в себя; равнобедренный треугольник АВС и окружность, описанная око-
ло него, тоже переходят в себя; биссектриса СЕ угла АСВ переходит в биссек-
трису ВЕ угла АВС. Следовательно, точки D и F переходят друг в друга. Таким
образом, мы
показали, что прямая АЕ является осью симметрии четырехуголь-
ника ЕDAF (рис. 3.4). Для того чтобы доказать, что этот четырехугольник явля-
ется ромбом, достаточно показать, что треугольник ADE равнобедренный. По
условию задачи ВЕ – биссектриса угла АВС, значит, ∠ABF = ∠FBC. Поскольку
эти углы вписаны в окружность и опираются на дуги AF и FC, то эти дуги так
-
же равны. С другой стороны, на эти же дуги опираются вписанные в окруж-
ность углы: ∠ADF и ∠FDC. Следовательно, ∠ADF = 
                                         34

         А

                                 С
                                                                 B`
                                  Рис. 3.3

      При симметрии, определяемой этой прямой, точка В переходит в точку
В`, лежащую на прямой АС. Рассмотрим треугольник AМB`, который опреде-
ляется вершиной А данного треугольника, точкой М и точкой B` (рис. 3.3).
Применяя         неравенство     треугольника,       получаем,       что
АМ + МВ` > АВ`. Поскольку MB`=MB, а АВ` = АС + ВС, то требуемое нера-
венство доказано.

     Пример 2. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием ВС точка
Е является центром вписанной окружности. Прямые СЕ и ВЕ пересекают ок-
ружность, описанную около треугольника АВС в точках D и F. Доказать, что
ЕDAF – ромб.
     Решение. Применим осевую симметрию с осью АЕ.

                                              А


                      D                           F

                                     Е

                       В                          С




                                  Рис. 3.4
      Поскольку точки А и Е лежат на оси, значит, они инвариантны, т.е. пере-
ходят в себя; равнобедренный треугольник АВС и окружность, описанная око-
ло него, тоже переходят в себя; биссектриса СЕ угла АСВ переходит в биссек-
трису ВЕ угла АВС. Следовательно, точки D и F переходят друг в друга. Таким
образом, мы показали, что прямая АЕ является осью симметрии четырехуголь-
ника ЕDAF (рис. 3.4). Для того чтобы доказать, что этот четырехугольник явля-
ется ромбом, достаточно показать, что треугольник ADE равнобедренный. По
условию задачи ВЕ – биссектриса угла АВС, значит, ∠ABF = ∠FBC. Поскольку
эти углы вписаны в окружность и опираются на дуги AF и FC, то эти дуги так-
же равны. С другой стороны, на эти же дуги опираются вписанные в окруж-
ность     углы:    ∠ADF       и    ∠FDC.       Следовательно,     ∠ADF     =

Страницы