Геометрические преобразования в примерах и задачах. Дорофеев С.Н. - 36 стр.

                                      36



                                               О
                                   A1
                     В1
                                  G


                            C
                                               C1               B

                                 Рис.3.6
      Так как точки О и G симметричны относительно прямой АВ, то четырех-
угольник АОВG ромб со стороной равной 6 см. Значит, AG=BG=6 cм. По усло-
вию G точка пересечения медиан треугольника АВС. Следовательно, длина ме-
дианы АА1=ВВ1= 9 см. Чтобы найти длину медианы СС1 воспользуемся тем,
что, во-первых, СО= 6см., во- вторых тем, что CG=2GC1 , GC1=C1О . Откуда
получаем, что 4GC1=6 или GC1=1.5. Следовательно, длина медианы СС1=4.5
см.

      Пример 5. В треугольнике АВС проведена высота АН; О – центр описан-
ной окружности. Доказать, что ∠ОАН = ⎜∠В – ∠С⎜.
      Решение. Применим осевую симметрию с осью, содержащей серединный
перпендикуляр MN к стороне ВС (рис. 3.7). При симметрии с осью МN точка В
перейдет в точку С, а точка А в точку A`, угол АВС перейдет в угол A`СВ. Не-
трудно заметить, что величина угла АСА` связана с величинами углов при вер-
шинах         В        и       С        соотношением         ∠АСА`        =
= ⎜∠В – ∠С⎜. Поскольку точка A` лежит на окружности, описанной около тре-
угольника АВС, а углы АСА` и АОА` опираются на одну и ту же дугу (первый
–    как    вписанный,     а   второй     –    как  центральный),    значит,
∠АОА` = 2 ⎜∠В – ∠С⎜. Так как угол ∠ОАН равен углу ∠АON как внутренние
накрест лежащие углы при параллельных прямых АН и MN, то
        1
∠ОАН = ∠ АОА` = ⎜∠В – ∠С⎜.
        2

                                           В

                                                    Н
                                                        M


                                  О
                                                            С