Геометрические преобразования в примерах и задачах. Дорофеев С.Н. - 37 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

37
A
N
A`
Рис. 3.7
Пример 6. Из картонного квадрата вырезан правильный двенадцатиуголь-
ник, четыре вершины которого расположены в серединах сторон квадрата. До-
казать, что площадь двенадцатиугольника в три раза больше площади остав-
шейся фигуры.
Решение. Разделим квадрат средними линиями на четыре равные части.
Возьмем одну из них. Пусть ADEC – четвертая часть границы правильного две
-
надцатиугольника (рис. 3.8). Рассмотрим треугольник ADB. В этом треугольни-
ке можно найти величину угла ∠BAD. Имеем ∠BAD = = 90° –75° = 15°. Ана-
логично можно показать, что величина угла ∠ЕСВ = 15°. В треугольниках
ABD и СВЕ равны также стороны:
АВ = ВС, AD = ЕС. Значит, эти треугольники равны. Покажем, что они равно-
бедренные с основаниям АВ и ВС, соответственно. Для
этого выразим сторону
AD правильного двенадцатиугольника через сторону квадрата. С этой целью
применим теорему синусов к равнобедренному треугольнику АDО. В результа-
те получим, что AD = 2AB sin15°. Используя теорему косинусов, можно пока-
зать, что длина стороны BD треугольника ABD тоже равна 2AB sin15°. А это зна-
чит, что треугольник ABD – равнобедренный.
Следовательно, треугольник ВЕС тоже равнобедренный с углами
при ос-
новании, равными 15°. Поскольку ∠DBE = 90° – 2∠ABD, то треугольник BDE –
правильный.
А В
D
E
B`
О С
Рис. 3.8
Применим осевую симметрию с осью DE. При этом правильный тре-
угольник BDE перейдет в правильный треугольник B`DE. Рассмотрим тре-
угольники OB`D и OB`E. В этих треугольниках мы имеем по равной стороне: 
                                       37

                  A

                      N
                          A`
                                    Рис. 3.7

       Пример 6. Из картонного квадрата вырезан правильный двенадцатиуголь-
ник, четыре вершины которого расположены в серединах сторон квадрата. До-
казать, что площадь двенадцатиугольника в три раза больше площади остав-
шейся фигуры.
       Решение. Разделим квадрат средними линиями на четыре равные части.
Возьмем одну из них. Пусть ADEC – четвертая часть границы правильного две-
надцатиугольника (рис. 3.8). Рассмотрим треугольник ADB. В этом треугольни-
ке можно найти величину угла ∠BAD. Имеем ∠BAD = = 90° –75° = 15°. Ана-
логично можно показать, что величина угла ∠ЕСВ = 15°. В треугольниках
ABD            и         СВЕ          равны          также          стороны:
АВ = ВС, AD = ЕС. Значит, эти треугольники равны. Покажем, что они равно-
бедренные с основаниям АВ и ВС, соответственно. Для этого выразим сторону
AD правильного двенадцатиугольника через сторону квадрата. С этой целью
применим теорему синусов к равнобедренному треугольнику АDО. В результа-
те получим, что AD = 2AB sin15°. Используя теорему косинусов, можно пока-
зать, что длина стороны BD треугольника ABD тоже равна 2AB sin15°. А это зна-
чит, что треугольник ABD – равнобедренный.
       Следовательно, треугольник ВЕС тоже равнобедренный с углами при ос-
новании, равными 15°. Поскольку ∠DBE = 90° – 2∠ABD, то треугольник BDE –
правильный.



                          А                        В

                                D

                                               E
                                B`

                          О                        С
                                    Рис. 3.8
     Применим осевую симметрию с осью DE. При этом правильный тре-
угольник BDE перейдет в правильный треугольник B`DE. Рассмотрим тре-
угольники OB`D и OB`E. В этих треугольниках мы имеем по равной стороне:

Страницы