Геометрические преобразования в примерах и задачах. Дорофеев С.Н. - 39 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

39
Рис.3.9
Образом трапеции А
2
В
1
`С
1
`D
1
` при повороте плоскости вокруг точки А
2
на угол
α
служит трапеция А
2
В
2
С
2
`D
2
`, равная трапеции А
1
В
1
С
1
D
1
. Если мы по-
кажем, что трапеция А
2
В
2
С
2
`D
2
` равна трапеции А
2
В
2
С
2
D
2
, то это будет озна-
чать, что трапеции А
1
В
1
С
1
D
1
и А
2
В
2
С
2
D
2
равны. Рассмотрим осевую симметрию
с осью А
2
В
2
. При осевой симметрии всякая прямая параллельная ее оси перехо-
дит в прямую ей параллельную, удаленную от оси на то же самое расстояние,
что и ее прообраз. Таким образом, при осевой симметрии с осью А
2
В
2
прямая
D
2
`C
2
` перейдет в прямую D
2
C
2
, прямая А
2
D
2
` перейдет в прямую А
2
D
2
. Следо-
вательно, точка D
2
` перейдет в точку D
2
. Аналогичным образом можно пока-
зать, что образом точки С
2
` при осевой симметрии с осью А
2
D
2
будет служить
точка С
2
.
Пример 8. Окружность с центром в точке О пересечения медиан равно-
бедренного треугольника АВС пересекает его стороны ВС, АВ, СA в точках А
1
и А
2
, С
1
и С
2
, В
1
и В
2
соответственно. Доказать, что прямые, перпендикулярные
сторонам ВС, АС, AВ в точках А
1
, В
1
, С
1
треугольника АВС не проходят через
одну точку тогда и только тогда, когда прямые, перпендикулярные к этим же
сторонам, но в точках А
2
, В
2
, С
2
тоже не проходят через одну точку (Рис.3.10).
Решение. Рассмотрим осевую симметрию с осью ВО, содержащей ме-
диану треугольника, проведенную из вершины В к стороне АС. При этой
симметрии сторона АВ перейдет в сторону ВС, сторона ВС в сторону АВ, а
сторона АС и окружность останутся на месте. Из этого следует
, что точки А
1
и
С
2
, С
1
и А
2
, В
1
и В
2
симметричны относительно прямой ВО. Прямая,
перпендикулярная стороне АВ в точке С
1
перейдет в прямую перпендикуляр-
ную стороне ВС в точкеА
2
и наоборот; прямая, перпендикулярная стороне ВС в
точке А
1
перейдет в прямую, перпендикулярную стороне АВ в точке С
2
и
наоборот , а прямая, перпендикулярная стороне АС в точке В
1
перейдет в
прямую, перпендикулярную этой же стороне, но в точке В
2
и наоборот. Если
прямые, перпендикулярные к сторонам треугольника АВС в точках А
1
, В
1
, С
1
не
проходят через одну точку, то и их образы при осевой симметрии тоже не про-
ходят через одну точку
В
С
2
А
1
                                          39



                                Рис.3.9


       Образом трапеции А2В1`С1`D1` при повороте плоскости вокруг точки А2
на угол α служит трапеция А2В2С2`D2`, равная трапеции А1В1С1D1. Если мы по-
кажем, что трапеция А2В2С2`D2` равна трапеции А2В2С2D2 , то это будет озна-
чать, что трапеции А1В1С1D1 и А2В2С2D2 равны. Рассмотрим осевую симметрию
с осью А2В2 . При осевой симметрии всякая прямая параллельная ее оси перехо-
дит в прямую ей параллельную, удаленную от оси на то же самое расстояние,
что и ее прообраз. Таким образом, при осевой симметрии с осью А2В2 прямая
D2`C2` перейдет в прямую D2C2 , прямая А2D2` перейдет в прямую А2D2. Следо-
вательно, точка D2` перейдет в точку D2 . Аналогичным образом можно пока-
зать, что образом точки С2` при осевой симметрии с осью А2D2 будет служить
точка С2 .

      Пример 8. Окружность с центром в точке О пересечения медиан равно-
бедренного треугольника АВС пересекает его стороны ВС, АВ, СA в точках А1
и А2, С1 и С2, В1 и В2 соответственно. Доказать, что прямые, перпендикулярные
сторонам ВС, АС, AВ в точках А1, В1, С1 треугольника АВС не проходят через
одну точку тогда и только тогда, когда прямые, перпендикулярные к этим же
сторонам, но в точках А2, В2, С2 тоже не проходят через одну точку (Рис.3.10).
      Решение. Рассмотрим осевую симметрию с осью ВО, содержащей ме-
диану треугольника, проведенную из вершины В к стороне АС. При этой
симметрии сторона АВ перейдет в сторону ВС, сторона ВС в сторону АВ, а
сторона АС и окружность останутся на месте. Из этого следует, что точки А1 и
С2 , С1 и А2 , В1 и В2 симметричны относительно прямой ВО. Прямая,
перпендикулярная стороне АВ в точке С1 перейдет в прямую перпендикуляр-
ную стороне ВС в точкеА2 и наоборот; прямая, перпендикулярная стороне ВС в
точке А1 перейдет в прямую, перпендикулярную стороне АВ в точке С2 и
наоборот , а прямая, перпендикулярная стороне АС в точке В1 перейдет в
прямую, перпендикулярную этой же стороне, но в точке В2 и наоборот. Если
прямые, перпендикулярные к сторонам треугольника АВС в точках А1, В1, С1 не
проходят через одну точку, то и их образы при осевой симметрии тоже не про-
ходят через одну точку


                                          В



                           С2
                                               А1

Страницы