Геометрические преобразования в примерах и задачах. Дорофеев С.Н. - 41 стр.

                                     41

     8. Какие из элементов равнобедренного треугольника можно убрать для
того, чтобы оставшаяся фигура была симметрична самой себе при осевой сим-
метрии, содержащей высоту равнобедренного треугольника, опущенную из его
вершины на основание?
      9. Какие из элементов прямоугольника можно убрать для того, чтобы ос-
тавшаяся фигура была симметрична самой себе относительно тех же осей, что и
прямоугольник?
      10. Докажите, что прямая, содержащая высоту правильной четырех-
угольной пирамиды, опущенную из вершины на основание, является ее осью
симметрии.
      11. Докажите, что прямая, содержащая высоту правильной шестиуголь-
ной пирамиды, опущенную из вершины на основание, является ее осью сим-
метрии.
      12. Какие из элементов правильной шестиугольной пирамиды можно уб-
рать для того, чтобы оставшаяся фигура была симметрична сама себе относи-
тельно оси, содержащей высоту, опущенную из вершины на основание?
      13. Сколько осей симметрии имеет прямоугольный параллелепипед?
      14. Сколько осей симметрии имеет правильный тетраэдр?
      15. Доказать, что если плоская фигура имеет две перпендикулярные оси
симметрии, то она имеет центр симметрии.
      16. Точка B` симметрична вершине В треугольника АВС относительно
биссектрисы его внешнего угла ∠С. Доказать, что АВ + ВВ` > АС + ВС.
      17. На боковых сторонах АС и ВС равнобедренного треугольника АВС
даны точки M и N такие, что СM + CN = AC. Доказать, что отрезок, соединяю-
щий середины боковых сторон, проходит через середину отрезка MN, если СM
≠ CN.
      18. В четырехугольнике ABCD АВ = AD, BC = CD. Докажите, что при
осевой симметрии с осью АС точка В переходит в точку D.
      19. Две равные окружности пересекаются в точках А и В. Докажите, что
прямая АВ является осью симметрии фигуры, образованной объединением дан-
ных окружностей.
      20. При симметрии относительно прямой, содержащей биссектрису
внешнего угла С треугольника АВС, середина М стороны АВ переходит в точку
M`. Доказать, что MM ` ≤ a + b , где а длина стороны ВС, а b длина стороны
АС.
      21. В треугольнике АВС проведена медиана АМ. Доказать, что
       1            α
АМ ≥     (b + c) cos .(Указание: использовать осевую симметрию относитель-
       2            2
но прямой, содержащей биссектрису внешнего угла А)
      22. Докажите, что всякая трапеция, вписанная в окружность, является
равнобочной.
      23. Окружность, вписанная в треугольник АВС, касается его сторон АС и
ВС в точках В1 и А1. Доказать, что если АС > ВС, то АА1 > ВВ1.(Указание: ис-