Геометрические преобразования в примерах и задачах. Дорофеев С.Н. - 42 стр.

                                     42

пользовать осевую симметрию относительно прямой, содержащей биссектрису
угла АСВ).
      24. При симметрии относительно серединного перпендикуляра к диаго-
нали BD четырехугольника ABCD вершина С переходит в точку C`. Доказать,
что четырехугольники ABCD и ABC`D равновелики.
      25. Доказать, что площадь любого выпуклого четырехугольника не пре-
восходит полусуммы произведений противоположных сторон.(Указание: ис-
пользовать осевую симметрию относительно серединного перпендикуляра к ка-
кой-нибудь диагонали данного четырехугольника )
      26. На прямой отложены равные отрезки АВ, ВС, СD. Доказать, что AP +
PD > BP + PC, где Р – любая точка на плоскости. (Указание. Применить сначала
осевую симметрию Sm с осью проходящей через точку В и параллельной пря-
мой РА. При этом прямая РА перейдет в прямую ей параллельную и проходя-
щую через точку С. Обозначим через P` точку ее пересечения с прямой РВ. Из
треугольника РСР` следует, что РС + СР` ≥ 2РВ или с учетом того, что СР`= РА
получаем неравенство РС + РА ≥ 2РВ. Далее использовать осевую симметрию
Sn с осью проходящей через точку С и параллельной прямой PD. Обозначим
через P`` точку ее пересечения с прямой РС. Из треугольника PDP`` получаем, с
учетом того, что DP``=PB, справедливое неравенство РВ + РD ≥ 2РC).
      27. Отрезок AD точками А1, А2, …, Аn разбит на n+1 равных отрезков.
Доказать, что для любой точки Р имеет место неравенство РА + PD ≥ РА1 +
PAn.(Указание. Использовать предыдущую задачу)
      28. Дан треугольник АВС, АВ = АС, ∠АВС = 30°. На стороне ВС взята
точка D так, что AC : BD = 2 : 1. Найти величину угла DAC.
      29. В треугольнике точка пересечения медиан и центр описанной окруж-
ности симметричны относительно одной из сторон. Найдите медианы тре-
угольника, если радиус описанной окружности равен 6 см.
      30. Продолжения боковых сторон AD и ВС равнобочной трапеции пере-
секаются в точке S. Доказать, что окружности, проведенные через точки A, C, S
и B, D, S, пересекаются, помимо точки S, в центре окружности, описанной око-
ло трапеции ABCD.
      31. Доказать, что если некоторая фигура имеет две взаимно перпендику-
лярные оси симметрии, то точка их пересечения является центром симметрии
этой фигуры.
      32. Доказать, что если в четырехугольнике ABCD углы А и В равны, а
угол D больше угла С, то ВС > AD.
      33. В равнобедренном треугольнике АВС АВ = АС, ∠ВАС = 80°. Точка О
внутри треугольника выбрана так, что ∠ОВС = 10°, ∠ОСВ = 30°. Найти величи-
ну угла АОВ.

     34. Точка М лежит на диаметре АВ окружности. Хорда CD проходит че-
рез точку М и пересекает АВ под углом 45°. Доказать, что сумма СМ2 + DM2 не
зависит от выбора точки М.