Геометрические преобразования в примерах и задачах. Дорофеев С.Н. - 44 стр.

                                             44

      На плоскости рассмотрим поворот RSα с центром в точке S и углом α. За-
дадим ПДСК так, чтобы ее началом служила точка S, а координатные векторы
i, j были единичны и взаимно перпендикулярны. Произвольно на плоскости
возьмем точку М (х, у) с координатами х и у относительно ПДСК Sху. Под дей-
ствием поворота эта точка перейдет в некоторую точку M`(x`, y`). Выразим ко-
ординаты точки M` через координаты ее прообраза, угол α и координаты цен-
тра поворота. В треугольнике SM`Mx` длина катета SMx` равна ⏐х`⏐, а длина ка-
тета М`Мх` равна ⏐у`⏐, а в треугольнике SMMx – SMx = ⏐x⏐, MMx = ⏐y⏐. Обо-
значим через β направленный угол, который образует луч SM с положительным
направлением оси абсцисс (рис. 4.2). Тогда в ориентированном прямоугольном
треугольнике Mx`SM` направленный угол ∠ Mx`SM` равен сумме направленных
углов                 α                 и                β,                 а
длина гипотенузы SM` равна                 x 2 + y 2 . С учетом этих соотношений
получаем, что

                          x` = x 2 + y 2 cos(α + β),
                          y` = x 2 + y 2 sin(α + β).
                               x                               y
     Поскольку cos β =                   , sin β =                      , то
                           2         2                     2        2
                         x +y                           x +y
                                   x` = x cos α − y sin α,
                                                                                   (4.1)
                                   y` = x sin α + y cos α.


                               y

                         My`                          M`


                          My                                        M

                                            α
                                                  β                            x
                               S                  Mx`              Mx
                                          Рис. 4.2
     Эти формулы являются формулами поворота плоскости вокруг начала
координат на направленный угол α. Используя эти формулы, можно показать,