Геометрические преобразования в примерах и задачах. Дорофеев С.Н. - 45 стр.

                                                    45

что поворот плоскости вокруг точки на заданный направленный угол обладает
следующими свойствами.

       Свойства поворота плоскости вокруг точки

       1. При повороте плоскости вокруг данной точки на заданный направлен-
ный угол прямая переходит в прямую, образующую с данной прямой направлен-
ный угол, равный углу поворота.
      Доказательство. Пусть относительно системы координат Oxy прямая d
определяется уравнением ax + by + c = 0 , где a 2 + b 2 ≠ 0 . Зададим поворот плоско-
сти вокруг точки О на направленный угол α формулами (4.1). Найдем уравне-
ние образа прямой d при этом повороте. Для этого из формул (4.1) выразим x и
y через x′ и y ′ получим формулы вида
                             x = x′ cosα + y ′ sin α ,
                             y = − x′ sin α + y ′ cosα .
Чтобы получить уравнение образа прямой d в уравнении ax + by + c = 0 заменим х
и у выражениями x′ cos α + y′ sin α и − x′ sin α + y′ cos α . В результате получим
уравнение вида a( x′ cosα + y ′ sin α ) + b(− x′ sin α + y ′ cosα ) + c = 0 . В левой части этого
уравнения             раскроем            скобки           и    приведем        его    к     виду
(a cosα − b sin α ) x′ + (a sin α + b cosα ) y ′ + c = 0 .                             Поскольку
(a cosα − b sin α ) + (a sin α + b cosα ) = a + b ≠ 0 ,
                    2                      2       2    2
                                                                        то             уравнение
(a cosα − b sin α ) x′ + (a sin α + b cosα ) y ′ + c = 0 определяет на плоскости прямую.

       2. При повороте вокруг данной точки на заданный направленный угол
параллельные прямые переходят в параллельные прямые.
         3. Поворот плоскости вокруг данной точки на заданный направленный
угол сохраняет простое отношение трех точек.
            Доказательство. На плоскости зададим ПДСК Оху. Произвольно возь-
мем две точки M 1 ( x1 , y1 ) и M 2 ( x2 , y 2 ) . Пусть точка M ( x, y ) делит отрезок M 1M 2 в
отношении λ ≠ −1 . Рассмотрим поворот плоскости вокруг точки О на направ-
ленный угол α формулами (4.1). Обозначим через M 1′( x1′ , y1′ ) , M 2′ ( x2′ , y 2′ ) и
M ′( x′, y ′) образы точек M 1 ( x1 , y1 ) , M 2 ( x2 , y 2 ) и M ( x, y ) при этом повороте. Пока-
жем, что поворот сохраняет простое отношение трех точек M 1 ( x1 , y1 ) , M 2 ( x2 , y 2 ) и
M ( x, y ) . Поскольку для координат точек M 1 ( x1 , y1 ) , M 2 ( x2 , y 2 ) и M ( x, y ) справед-
ливы соотношения
                                     ⎧      x1 + λx2
                                     ⎪⎪ x = 1 + λ ,
                                      ⎨
                                      ⎪ y = y1 + λy 2 ,
                                      ⎪⎩      1+ λ
то для доказательства того факта, что точка M ′( x′, y ′) делит отрезок M 1′M 2′ в том
же самом отношении λ ≠ −1 достаточно показать, что