Геометрические преобразования в примерах и задачах. Дорофеев С.Н. - 43 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

43
35. Одинаковые окружности S
1
и S
2
касаются окружности S внутренним
образом в точках А
1
и А
2
. Произвольная точка С окружности S соединена отрез-
ками с точками А
1
и А
2
, которые пересекают окружности S
1
и S
2
в точках В
1
и В
2
.
Доказать, что прямые А
1
А
2
и В
1
В
2
параллельны.
§4 ПОВОРОТ ПЛОСКОСТИ ВОКРУГ ТОЧКИ
Определение 1.
Поворотом плоскости вокруг точки S на направленный
угол
α называется такое отображение плоскости на себя, которое каждую точку
М плоскости переводит в такую точку M`, что SM = SM` и направленный угол
∠MSM` равен α.
Точка S называется центром поворота, а направленный угол
α – углом
поворота. Напомним, что угол называется направленным, если указано, какая
из его сторон считается первой, а какая – второй.
Для обозначения поворота будем использовать символ
α
S
R .
Прежде всего докажем, что поворот плоскости сохраняет расстояние ме-
жду точками. Для этого на плоскости возьмем две различные точки M и N. Обо-
значим через M` и N` их образы при повороте вокруг точки S на направленный
угол
α. Рассмотрим треугольники SMN и SM`N`. В этих треугольниках стороны
SM и SM`, SN и SN`, соответственно, равны (рис. 4.1).
N`
N
M`
M
S
Рис. 4.1
Нетрудно убедиться и в том, что углы MSN и M`SN` этих треугольников
тоже равны. А это значит, что равны и сами треугольники MSN и M`SN`. Из ра-
венства этих треугольников следует равенство отрезков MN и M`N`. Таким об-
разом, поворот плоскости вокруг
данной точки на заданный направленный угол
является движением. 
                                      43

     35. Одинаковые окружности S1 и S2 касаются окружности S внутренним
образом в точках А1 и А2. Произвольная точка С окружности S соединена отрез-
ками с точками А1 и А2, которые пересекают окружности S1 и S2 в точках В1 и В2.
Доказать, что прямые А1А2 и В1В2 параллельны.




     §4 ПОВОРОТ ПЛОСКОСТИ ВОКРУГ ТОЧКИ

      Определение 1. Поворотом плоскости вокруг точки S на направленный
угол α называется такое отображение плоскости на себя, которое каждую точку
М плоскости переводит в такую точку M`, что SM = SM` и направленный угол
∠MSM` равен α.
      Точка S называется центром поворота, а направленный угол α – углом
поворота. Напомним, что угол называется направленным, если указано, какая
из его сторон считается первой, а какая – второй.
      Для обозначения поворота будем использовать символ RSα .
      Прежде всего докажем, что поворот плоскости сохраняет расстояние ме-
жду точками. Для этого на плоскости возьмем две различные точки M и N. Обо-
значим через M` и N` их образы при повороте вокруг точки S на направленный
угол α. Рассмотрим треугольники SMN и SM`N`. В этих треугольниках стороны
SM и SM`, SN и SN`, соответственно, равны (рис. 4.1).
                              N`


                                                    N
                                           M`




                                                M
                       S
                                   Рис. 4.1

     Нетрудно убедиться и в том, что углы MSN и M`SN` этих треугольников
тоже равны. А это значит, что равны и сами треугольники MSN и M`SN`. Из ра-
венства этих треугольников следует равенство отрезков MN и M`N`. Таким об-
разом, поворот плоскости вокруг данной точки на заданный направленный угол
является движением.

Страницы