Геометрические преобразования в примерах и задачах. Дорофеев С.Н. - 47 стр.

                                         47

p, проходящая через центр О, а осью другой – прямая q, содержащая биссек-
трису угла, образованного образом m` луча m при повороте вокруг точки О на
заданный угол и образом m`` луча m` при осевой симметрии с осью р.
       При решении задач, связанных с нахождением образов и прообразов гео-
метрических фигур, заданных своими аналитическими условиями относительно
прямоугольной декартовой системы координат Oxy, при повороте плоскости
вокруг точки на заданный направленный угол, целесообразно использовать
формулы, задающие поворот с центром в произвольной точке S(х0, у0), отлич-
ной от начала координат. Для того, чтобы вывести эти формулы, воспользуемся
тем, что поворот плоскости переводит ортонормированный репер R в ортонор-
мированный репер R`, а всякую точку M с координатами (х, у) относительно ре-
пера R в точку M` с теми же самыми координатами, но относительно репера R`.
С другой стороны, точка M` относительно репера R` тоже имеет какие-то коор-
динаты. Обозначим их через x` и y`. Таким образом, на плоскости имеем две
системы координат: одна из них определяется репером R, а другая – репером R`.
Первую из них назовем «старой», а вторую – «новой». В соответствии с этим
«старыми» координатами точки M` будет являться упорядоченная пара чисел
(x`, y`), а «новыми» координатами – упорядоченная пара чисел (х, у). Используя
формулы, выражающие «старые» координаты точки через ее «новые» при пе-
реходе от одной системы координат к другой, получим формулы:
                            x` = x cos α − y sin α + x0 ,
                                                                         (4.2)
                             y` = x sin α + y cos α + y0 .
     Поскольку точка S(хS, yS) является инвариантной точкой поворота, то ее
координаты удовлетворяют следующим условиям:
                          xS = xS cos α − yS sin α + x0 ,
                                                                         (4.3)
                          yS = xS sin α + yS cos α + y0 .
     Вычитая из обеих частей равенств (4.2) соответствующие части соответ-
ствующих равенств (4.3), получим формулы, которые выражают координаты
образа M` точки M через координаты самой точки M:
                     x` = ( x − xS ) cos α − ( y − yS ) sin α + xS ,
                                                                         (4.4)
                     y` = ( x − xS ) sin α + ( y − yS ) cos α + yS .
       Формулы (4.4) являются формулами поворота плоскости вокруг точки
S(хS, yS) на заданный направленный угол α.

     Вопросы и задания для самопроверки

     1. Какое отображение плоскости на себя называется поворотом?
     2. Доказать, что поворот является движением.
     3. Вывести формулы, задающие поворот плоскости относительно прямо-
угольной декартовой системы координат Оху.