Геометрические преобразования в примерах и задачах. Дорофеев С.Н. - 49 стр.

                                    49

                                   M

                                 Рис. 4.3
      Применим поворот плоскости вокруг точки В на угол 90° против часовой
стрелки. При этом повороте вершина К перейдет в вершину N, вершина С – в
вершину А. Обозначим через A` образ точки А при данном повороте. Отметим,
что точки С, В и A` лежат на одной прямой, причем точка В делит пополам от-
резок СA`. Поскольку поворот плоскости вокруг данной точки на заданный на-
правленный угол сохраняет простое отношение трех точек, то середина Е от-
резка АК перейдет в середину E` отрезка A`N. В силу того, что мы применяем
поворот вокруг точки В на угол +90°, то ∠ЕВE` = 90°. Далее рассмотрим тре-
угольник СA`N. В этом треугольнике BE` – средняя линия. Значит, прямая ВЕ`
параллельна прямой CN. Следовательно, прямая ВЕ перпендикулярна прямой
CN, т.е. точки Е, В, F лежат на одной прямой.
      Примечание. В ходе решения данной задачи было установлено, что отре-
зок ВЕ не только перпендикулярен отрезку CN, но и равен его половине. Таким
образом, требование предложенной задачи можно переформулировать следую-
щим образом: доказать, что медиана ВЕ треугольника АВК перпендикулярна
отрезку СN и равна его половине.

      Пример 2. На сторонах ВС и CD квадрата ABCD взяты точки М и К так,
что периметр треугольника СМК равен удвоенной стороне квадрата (рис. 4.4).
Найдите величину угла МАК.
      Решение.

                          B        M           C




                                                   K

                      А                            D



                                                M`




                                                С`