Геометрические преобразования в примерах и задачах. Дорофеев С.Н. - 50 стр.

                                           50

                                       Рис. 4.4
      Применим поворот плоскости вокруг вершины А на 90°, при котором
вершина В перейдет в вершину D. Обозначим через M` образ точки М при этом
повороте. Поскольку периметр треугольника СМК равен удвоенной стороне
квадрата, то СМ + МК + СК = ВС + CD. Так как ВС = ВМ + МС, CD = СК + KD,
то СМ + МК + СК = ВМ + МС + СК + КD. Откуда следует, что МК = ВМ + КD.
При повороте плоскости вокруг точки А на 90° отрезок ВМ переходит в отрезок
DM`, отрезок АМ – в отрезок AM`, следовательно, МК = DM` + KD, АМ` = АМ.
Но точка D лежит между точками M` и К, значит, DM` + KD = M`K. Таким об-
разом, мы установили, что треугольники АМК и АМ`К равны. Следовательно,
∠МАК = ∠М`АК = 45°.

      Пример 3. Внутри равнобедренного прямоугольного треугольника АВС
(∠АСВ=900) взята точка М такая, что AM = 26 , BM = 2 , CM = 4 . Найти пло-
щадь треугольника АВС.
      Решение. Для того чтобы найти площадь равнобедренного прямоугольно-
го треугольника достаточно знать длину его катета или гипотенузы. Для нахож-
дения длины катета треугольника рассмотрим треугольник МВС. В этом тре-
угольнике нам известны длины двух сторон BM = 2 , CM = 4 . Для определения
длины третьей стороны нам необходимо знать угол между ними. Для этого при-
меним поворот плоскости вокруг вершины С на угол 900 . При этом повороте
вершина А перейдет в вершину В, а точка М - в некоторую точку М`(Рис.4.5).
Рассмотрим треугольник МСМ`. Поскольку СМ=СМ`=4, ∠MСM`=900, то по
теореме Пифагора получаем, что MM `= 4 2 . Так как при повороте плоскости
вокруг точки С на 900 точка А переходит в точку В, то отрезок АМ перейдет в
отрезок ВМ`. Теперь рассмотрим треугольник МВМ`. В этом треугольнике мы
знаем длины всех трех сторон: BM `= 26 , BM = 2 , MM `= 4 2 . Следовательно,
по теореме косинусов находим, что
            BM `2 = BM 2 + MM `2 −2 ⋅ BM ⋅ MM `⋅ cos ∠BMM `

                                                                                  1
или   26 = 2 + 32 − 2 ⋅ 2 ⋅ 4 2 ⋅ cos ∠CMM ` . Откуда получаем, что cos ∠BMM `=     . Зна-
                                                                                  2
чит, ∠ВMМ`=600.

                                       B




                            М                       М`