Геометрические преобразования в примерах и задачах. Дорофеев С.Н. - 51 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

51
А С
Рис.4.5
По свойству равнобедренного треугольника имеем, что
∠СMM`=45
0
. Итак,
∠BMС=105
0
. По теореме косинусов из треугольника ВМС получаем, что
BMCMCBMMCBMBC ∠⋅⋅⋅−+= cos2
222
или
3414
4
)13(2
281815sin2818105cos422162
002
+=
−
⋅+=⋅+=∠⋅⋅⋅−+=BC .
Следовательно,
327)3414(
2
1
+=+=
ΔABC
S
Пример 4. На сторонах АВ и АС правильного треугольника АВС выбра-
ны точки D и E так, что AD + AE = AB (рис. 4.6). Доказать, что
DC = BE, и найти величину угла DOE, где О – центр тяжести треугольника
АВС.
Решение. Анализируя условие задачи, приходим к заключению, что каж-
дая сторона треугольника АВС видна из центра О под одним и тем же углом
120°, что позволяет положить в основу решения задачи поворот вокруг точки О
на данный угол. При этом повороте правильный треугольник АВС переходит в
себя, т.е. данный поворот входит
в группу симметрий рассматриваемой фигуры.
Заметим, что при рассматриваемом повороте точка С переходит в точку В, а
точка D переходит в точку Е.
В
D
А О
E
С
Рис. 4.6
Значит, отрезок СD переходит в отрезок ВЕ. Следовательно, они равны.
Поскольку при этом повороте точка D переходит в точку Е, значит, угол
∠DOE =
120°.
Пример 5. На сторонах правильного треугольника, вне его, построены
квадраты. Доказать, что их центры являются вершинами правильного треуголь-
ника (рис. 4.7). 
                                                     51

             А                                       С

                                         Рис.4.5

По свойству равнобедренного треугольника имеем, что ∠СMM`=450. Итак,
∠BMС=1050 . По теореме косинусов из треугольника ВМС получаем, что
BC 2 = BM 2 + MC 2 − 2 ⋅ BM ⋅ MC ⋅ cos ∠BMC или
                                                                            2 ( 3 − 1)
BC 2 = 2 + 16 − 2 ⋅ 2 ⋅ 4 ⋅ cos ∠105 0 = 18 + 8 2 ⋅ sin 15 0 = 18 + 8 2 ⋅              = 14 + 4 3 .
                                                                                4
                              1
Следовательно, S ΔABC = (14 + 4 3 ) = 7 + 2 3
                              2
      Пример 4. На сторонах АВ и АС правильного треугольника АВС выбра-
ны точки D и E так, что AD + AE = AB (рис. 4.6). Доказать, что
DC = BE, и найти величину угла DOE, где О – центр тяжести треугольника
АВС.
      Решение. Анализируя условие задачи, приходим к заключению, что каж-
дая сторона треугольника АВС видна из центра О под одним и тем же углом
120°, что позволяет положить в основу решения задачи поворот вокруг точки О
на данный угол. При этом повороте правильный треугольник АВС переходит в
себя, т.е. данный поворот входит в группу симметрий рассматриваемой фигуры.
Заметим, что при рассматриваемом повороте точка С переходит в точку В, а
точка D переходит в точку Е.

                                                          В


                                             D


                                  А                   О

                                                 E
                                                                     С

                                                 Рис. 4.6
      Значит, отрезок СD переходит в отрезок ВЕ. Следовательно, они равны.
Поскольку при этом повороте точка D переходит в точку Е, значит, угол ∠DOE =
120°.

      Пример 5. На сторонах правильного треугольника, вне его, построены
квадраты. Доказать, что их центры являются вершинами правильного треуголь-
ника (рис. 4.7).

Страницы