Геометрические преобразования в примерах и задачах. Дорофеев С.Н. - 53 стр.

                                     53

                                  Рис. 4.8
      Решение. При повороте вокруг точки В на направленный угол 60° точка
С перейдет в точку F, а точка Е перейдет в точку А. Следовательно, отрезок СЕ
перейдет в отрезок АF. Поскольку поворот, как и всякое движение плоскости,
сохраняет простое отношение трех точек, значит, середина N отрезка СЕ перей-
дет в середину отрезка AF, т.е. точка N перейдет в точку М при повороте плос-
кости вокруг точки В на угол 60°. Таким образом, мы доказали, что треуголь-
ник BMN – правильный.

      Пример 7. В прямоугольном треугольнике СМ – медиана. На катетах АС
и ВС, вне треугольника АВС, построены квадраты ACFN и BCDE (рис. 4.9). До-
казать, что:
      1) прямые СМ и DF перпендикулярны;
      2) СМ = 0,5 DF.
      Решение. За центр поворота примем вершину прямого угла. Такой выбор
центра поворота плоскости определяет и угол поворота – 90°. При повороте во-
круг точки С на угол -90° вершина В прямоугольного треугольника АВС перей-
дет в точку B`, принадлежащую катету АС, вершина А перейдет в вершину F
квадрата. При этом гипотенуза АВ отобразится на отрезок FB`, а его середина
М перейдет в середину M` отрезка FB`.

                     N                    A


                                          В`
                             M`                 M



                     F                C               B




                                      D               E
                                  Рис. 4.9
      Заметим, что отрезки СМ и CM` взаимно перпендикулярны и равны. Это
позволяет сделать следующее заключение: для того, чтобы доказать, что медиа-
на СМ треугольника АВС перпендикулярна отрезку FD и равна его половине,
достаточно показать, что отрезок CM` является средней линией треугольника
FB`D, что доказывается очень просто. Точка С есть середина отрезка DB`, а
точка M` есть середина отрезка FB`. Значит, CM` – средняя линия треугольника
FB`D.