Геометрические преобразования в примерах и задачах. Дорофеев С.Н. - 55 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

55
грамма A
1
B
1
C
1
D
1
опустим перпендикуляры m
1
, m
2
, m
3
, m
4
на стороны квадрата
ABCD. Для того, чтобы доказать, что эти перпендикуляры образуют квадрат,
достаточно показать, что при повороте плоскости вокруг центра О квадрата
АВСD на 90° прямые
m
1
, m
2
, m
3
, m
4
переходят друг в друга. Прежде всего отме-
тим, что при этом повороте точки А
1
, В
1
, С
1
, D
1
переходят в точки А
2
, В
2
, С
2
, D
2
.
А это значит, что образом стороны А
1
В
1
параллелограмма А
1
В
1
С
1
D
1
при пово-
роте плоскости вокруг точки О на 90°служит сторона А
2
В
2
. Следовательно, от-
резок А
2
В перпендикулярен отрезку АВ
1
. Далее прямая А
1
D
1
при повороте
плоскости вокруг точки О на 90° перейдет в прямую А
2
D
2
. Поскольку прямые
В
1
С
1
и А
1
D
1
параллельны, то отрезок АА
2
перпендикулярен отрезку ВВ
1
. Таким
образом, мы установили, что точка А
2
является ортоцентром треугольника
АВВ
1
. Значит, прямая m
1
при повороте плоскости вокруг точки О на 90° пере-
ходит в прямую
m
2
. Аналогичными рассуждениями можно установить, что при
этом повороте плоскости прямая
m
2
переходит в прямую m
3
, а прямая m
3
– в
прямую
m
4
, прямая m
4
– в прямую m
1
. Следовательно, при пересечении они об-
разуют квадрат.
B
2
С
1
В
m
3
С
m
2
В
1
A
2
O
m
4
C
2
D
1
А D
m
1
А
1
D
2
Рис. 4.12
Пример 10. Доказать, что две трапеции равны, если равны их соответст-
венные стороны. 
                                         55

грамма A1B1C1D1 опустим перпендикуляры m1, m2, m3, m4 на стороны квадрата
ABCD. Для того, чтобы доказать, что эти перпендикуляры образуют квадрат,
достаточно показать, что при повороте плоскости вокруг центра О квадрата
АВСD на 90° прямые m1, m2, m3, m4 переходят друг в друга. Прежде всего отме-
тим, что при этом повороте точки А1, В1, С1, D1 переходят в точки А2, В2, С2, D2.
А это значит, что образом стороны А1В1 параллелограмма А1В1С1D1 при пово-
роте плоскости вокруг точки О на 90°служит сторона А2В2. Следовательно, от-
резок А2В перпендикулярен отрезку АВ1. Далее прямая А1D1 при повороте
плоскости вокруг точки О на 90° перейдет в прямую А2D2. Поскольку прямые
В1С1 и А1D1 параллельны, то отрезок АА2 перпендикулярен отрезку ВВ1. Таким
образом, мы установили, что точка А2 является ортоцентром треугольника
АВВ1. Значит, прямая m1 при повороте плоскости вокруг точки О на 90° пере-
ходит в прямую m2. Аналогичными рассуждениями можно установить, что при
этом повороте плоскости прямая m2 переходит в прямую m3, а прямая m3 – в
прямую m4, прямая m4 – в прямую m1. Следовательно, при пересечении они об-
разуют квадрат.



                                                   B2

                                                   С1

                          В                   m3        С

                    m2
            В1    A2
                                              O         m4      C2
                                                                     D1



                         А                                  D
                                    m1

                                    А1


                                  D2
                                    Рис. 4.12

     Пример 10. Доказать, что две трапеции равны, если равны их соответст-
венные стороны.

Страницы