Геометрические преобразования в примерах и задачах. Дорофеев С.Н. - 57 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

57
рия” .
Пример 11. Два одинаково ориентированных квадрата ABCD и AB
1
C
1
D
1
на плоскости имеют общую вершину А. Доказать, что центры О
1
, О
2
этих квад-
ратов и середины
О
3
и О
4
отрезков A
1
D и ВС
1
образуют квадрат.
Решение. Как известно четырехугольник является квадратом тогда и
только тогда, когда при повороте плоскости вокруг середины одной из его диа-
гоналей он переходит в себя. Для решения данной задачи воспользуемся анали-
тическим способом задания поворота. На плоскости зададим ПДСК с началом в
точке
А и единичными векторами ADi = и ABj = (Рис.4.14) . Обозначим через
α
угол между вектором
i
и вектором
1
AB
. Тогда относительно заданной ПДСК
jiA
вершины квадратов ABCD и AB
1
C
1
D
1
имеют следующие координаты:
).sin,(cos
),sincos,sin(cos),cos,sin(),1,1(),1,0(),0,1(
1
11
αα
α
α
α
α
α
α
−
−
−
−
−
−
B
CDCBD
Зная координаты точек
В и D, D и В
1
, А и С
1
, В и D
1
, найдем координаты сере-
дин этих отрезков. Имеем:
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
2
1
,
2
1
1
O ,
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−+
2
sin
,
2
cos1
2
αα
O ,
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−−−
2
sincos
,
2
sincos
3
αααα
O ,
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
2
cos1
,
2
sin
4
αα
O
.
C
1
D
1
О
3
B
1
О О
2
О
4
А C х
О
1
B D
у
Рис.4.14
Теперь найдем координаты середины
О диагонали О
2
О
4
. Имеем
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−−−+
4
sincos1
,
4
sincos1
αααα
O
. Составим формулы поворота
0
90−
O
π
плоскости
вокруг точки О на угол -90
0
. Получим, что
O
0
O
0
O
O
0
0
0
O
)90cos()()90sin()( `
,)90sin()()90cos()( `
yyyxxy
xyyxxx
+−−+−−=
+−−−−−=
                                                          57

рия” .

       Пример 11. Два одинаково ориентированных квадрата ABCD и AB1C1D1
на плоскости имеют общую вершину А. Доказать, что центры О1 , О2 этих квад-
ратов и середины О3 и О4 отрезков A1D и ВС1 образуют квадрат.
       Решение. Как известно четырехугольник является квадратом тогда и
только тогда, когда при повороте плоскости вокруг середины одной из его диа-
гоналей он переходит в себя. Для решения данной задачи воспользуемся анали-
тическим способом задания поворота. На плоскости зададим ПДСК с началом в
точке А и единичными векторами i = AD и j = AB (Рис.4.14) . Обозначим через
α угол между вектором i и вектором AB1 . Тогда относительно заданной ПДСК
A i j вершины квадратов ABCD и AB1C1D1 имеют следующие координаты:
         D(1,0), B(0,1), C (1,1), D1 (− sin α , − cosα ), C1 (cosα − sin α , − cosα − sin α ),
         B1 (cosα , − sin α ).
Зная координаты точек В и D, D и В1 , А и С1 , В и D1 , найдем координаты сере-
дин этих отрезков. Имеем:
   ⎛1 1⎞          ⎛ 1 + cos α         − sin α ⎞      ⎛ cos α − sin α          − cos α − sin α ⎞
O1 ⎜ ,     ⎟ , O2 ⎜           ,               ⎟ , O3 ⎜               ,                        ⎟,
   ⎝2 2⎠          ⎝     2                2 ⎠         ⎝       2                       2        ⎠
    ⎛ sin α 1 − cos α ⎞
O4 ⎜ −      ,            ⎟ .
    ⎝   2          2     ⎠

                                                     C1


                            D1
                                               О3
                                                                     B1

                                               О                О2
                                 О4        А                   C                       х

                                                     О1

                                       B                       D

                                      у
                                   Рис.4.14
Теперь       найдем         координаты середины                           О     диагонали          О2О4.   Имеем
 ⎛ 1 + cos α − sin α 1 − cos α − sin α ⎞                               −90 0
O⎜                  ,                  ⎟ . Составим формулы поворота π O плоскости
 ⎝         4                 4         ⎠
вокруг точки О на угол -900 . Получим, что
                x` = ( x − xO ) cos(−90 0 ) − ( y − y 0 ) sin( −90 0 ) + xO ,
                y` = ( x − xO ) sin( −90 0 ) + ( y − y O ) cos(−90 0 ) + y O

Страницы