Геометрические преобразования в примерах и задачах. Дорофеев С.Н. - 59 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

59
треугольник ADD`. В этом треугольнике мы знаем, что АD = 1, DD` = 3 , AD` =
2. Поскольку
222
`` DDADAD += , то треугольник ADD` прямоугольный
)90`(
0
=∠ADD . Следовательно,
0
150=∠ADB . По теореме косинусов из треугольника
ABD находим длину стороны АВ. Имеем
7150cos31231cos2
022
=⋅⋅⋅−+=∠⋅⋅⋅−+= ADBBDADBDADAB .
Так как треугольник АВС правильный и
222
DCBDBC += , то по обратной теоре-
ме Пифагора получаем, что
BDC∠
- прямой. Из того, что
0
150=∠ADB следует, что
в параллелограмме BDB
1
A
1
величина угла
0
1
30=∠BDB , а величина угла
0
11
150=∠ ADB . По условию треугольник А
1
В
1
С
1
правильный, значит, угол
11
CDB
∠
прямой. Следовательно, по теореме Пифагора, получаем, что
231
2
11
2
11
=+=+= CBDBDC . Для того, чтобы найти величину угла CDC
1
нам не-
обходимо знать величину угла BDC
1
. Для этого рассмотрим треугольник BDC
1
.
В нем мы знаем две стороны
2
1
=
DC
и 3=BD .
A
D`
D
C
C
1
B
B
1
A
1
Рис.4.15
Для определения длины третьей стороны воспользуемся треугольником А
1
ВС
1
.
Поскольку
0
11111
30,3,1 =∠== CBACABA , то
130cos31231cos2
0
11111
2
11
2
1
2
1
=⋅⋅⋅−+=∠⋅⋅⋅−+= CBACADACABABC .
Следовательно, по теореме косинусов получаем, что
,
2
3
322
134
2
cos
1
2
1
22
1
1
=
⋅⋅
−+
=
⋅⋅
−+
=∠
DBDC
BCBDDC
BDC т.е.
0
1
30=∠BDC .
Итак,
000
1
1203090 =+=∠CDC . 
                                                      59

треугольник ADD`. В этом треугольнике мы знаем, что АD = 1, DD` = 3 , AD` =
2. Поскольку AD`2 = AD 2 + DD`2 , то треугольник ADD` прямоугольный
(∠ADD`= 90 0 ) . Следовательно, ∠ADB = 150 0 . По теореме косинусов из треугольника
ABD находим длину стороны АВ. Имеем
        AB = AD 2 + BD 2 − 2 ⋅ AD ⋅ BD ⋅ cos ∠ADB = 1 + 3 − 2 ⋅1⋅ 3 ⋅ cos150 0 = 7 .
Так как треугольник АВС правильный и BC 2 = BD 2 + DC 2 , то по обратной теоре-
ме Пифагора получаем, что ∠BDC - прямой. Из того, что ∠ADB = 150 0 следует, что
в параллелограмме BDB1A1                величина угла ∠BDB1 = 30 0 , а величина угла
∠DB1 A1 = 150 0 . По условию треугольник А1В1С1 правильный, значит, угол ∠DB1C1
прямой.           Следовательно, по теореме Пифагора, получаем, что
DC1 = DB1 + B1C1 = 1 + 3 = 2 . Для того, чтобы найти величину угла CDC1 нам не-
            2      2


обходимо знать величину угла BDC1. Для этого рассмотрим треугольник BDC1.
В нем мы знаем две стороны DC1 = 2 и BD = 3 .

                                                      A



                        D`

                                                           D


                                                                               C
                      C1          B

                                                       B1



                                      A1

                                           Рис.4.15

Для определения длины третьей стороны воспользуемся треугольником А1ВС1.
Поскольку A1 B = 1, A1C1 = 3, ∠BA1C1 = 30 0 , то
        BC12 = A1 B 2 + A1C1 − 2 ⋅ A1 D ⋅ A1C1 ⋅ cos ∠BA1C1 = 1 + 3 − 2 ⋅1 ⋅ 3 ⋅ cos 30 0 = 1 .
                              2


Следовательно, по теореме косинусов получаем, что
                                       DC12 + BD 2 − BC12 4 + 3 − 1    3
                      cos ∠BDC1 =                        =          =    , т.е. ∠BDC1 = 30 0 .
                                         2 ⋅ DC1 ⋅ DB      2⋅2⋅ 3     2
Итак, ∠CDC1 = 90 0 + 30 0 = 120 0 .

Страницы