Геометрические преобразования в примерах и задачах. Дорофеев С.Н. - 61 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

61
по одному перпендикуляру, то прямые , содержащие перпендикуляры, опущен-
ные из вершин квадрата на прямые АР,ВР,СР, DP пересекаются в точке P`).
10. Квадраты ABCD и AEFG на плоскости (вершины перечислены против
часовой стрелки) имеют общую вершину А. Доказать, что их центры и середи-
ны отрезков BG и DE являются вершинами некоторого квадрата (Указание. Ис-
пользовать формулы поворота с центром в середине отрезка BG и углом пово-
рота 90
0
).
11. Два квадрата ОАВС и ОА
1
B
1
C
1
(вершины перечислены в одном на-
правлении) имеют общую вершину О. Доказать, что отрезки АА
1
и СС
1
равны
и взаимно перпендикулярны.
12. Даны два одинаково ориентированных треугольника АВС и АВ
1
С
1
.
Найти величину угла между прямыми ВВ
1
и СС
1
и доказать, что ВВ
1
= СС
1
.
13. На плоскости даны одинаково ориентированные квадраты ABCD,
AB
1
C
1
D
1
и A
2
D
2
CD
2
; первый квадрат имеет с двумя другими общие вершины А
и С. Доказать, что медиана ВМ треугольника ВВ
1
В
2
перпендикулярна отрезку
D
1
D
2.
14. Через центр О правильного треугольника проведены две прямые, об-
разующие между собой угол в 60°. Докажите, что отрезки этих прямых, заклю-
ченные внутри треугольника, равны.
15. Внутри равностороннего треугольника АВС дана точка М такая, что
АМ = 1, ВМ =
3 , СМ = 2. Найти длину стороны АВ и величины углов ∠АМВ и
∠ВМС.
16. Внутри равностороннего треугольника АВС дана точка М такая, что
АМ = 1, ВМ =
2 , ∠АМВ = 105°. Найти длину отрезка СМ и величину угла
∠ВМС.
17. В ромбе ABCD величина угла А равна 120°. Внутри ромба дана точка
М такая, что АМ = 1, СМ = 2, ВМ = 3. Найти длину отрезка DM и стороны АВ.
18. В плоскости равностороннего треугольника АВС, вне его, взята точка
М такая, что ВМ = 2, АМ =
2 , ∠АМС = 15°. Найти величину угла ∠ВМС и
длину отрезка СМ.
19. На сторонах правильного треугольника АВС выбраны точки А
1
, В
1
, С
1
так, что АВ
1
: В
1
С = СA
1
: А
1
В = ВС
1
: C
1
А, СС
1
∩АА
1
= В
2
, СС
1
∩ВВ
1
= А
2
, ВВ
1
∩
АА
1
= С
2
. Доказать, что треугольник А
2
В
2
С
2
правильный и что его центр совпа-
дает с центром треугольника А
1
В
1
С
1.
20. Внутри прямоугольного равнобедренного треугольника АВС (∠С =
90°) взята точка М такая, что АМ = 2, ВМ =
2 , СМ = 1. Найти длину стороны
АС и величины углов
∠ВМС и ∠СМА.
21. Внутри прямоугольного равнобедренного треугольника АВС с пря-
мым углом С взята точка М такая, что АМ = 2,
∠АМВ = 120°,
∠АМС = 105°. Найти длины отрезков ВМ и СМ. 
                                     61

по одному перпендикуляру, то прямые , содержащие перпендикуляры, опущен-
ные из вершин квадрата на прямые АР,ВР,СР, DP пересекаются в точке P`).
      10. Квадраты ABCD и AEFG на плоскости (вершины перечислены против
часовой стрелки) имеют общую вершину А. Доказать, что их центры и середи-
ны отрезков BG и DE являются вершинами некоторого квадрата (Указание. Ис-
пользовать формулы поворота с центром в середине отрезка BG и углом пово-
рота 900).
      11. Два квадрата ОАВС и ОА1B1C1 (вершины перечислены в одном на-
правлении) имеют общую вершину О. Доказать, что отрезки АА1 и СС1 равны
и взаимно перпендикулярны.
      12. Даны два одинаково ориентированных треугольника АВС и АВ1С1.
Найти величину угла между прямыми ВВ1и СС1 и доказать, что ВВ1 = СС1.
      13. На плоскости даны одинаково ориентированные квадраты ABCD,
AB1C1D1 и A2D2CD2; первый квадрат имеет с двумя другими общие вершины А
и С. Доказать, что медиана ВМ треугольника ВВ1В2 перпендикулярна отрезку
D1D2.
      14. Через центр О правильного треугольника проведены две прямые, об-
разующие между собой угол в 60°. Докажите, что отрезки этих прямых, заклю-
ченные внутри треугольника, равны.
      15. Внутри равностороннего треугольника АВС дана точка М такая, что
АМ = 1, ВМ = 3 , СМ = 2. Найти длину стороны АВ и величины углов ∠АМВ и
∠ВМС.
      16. Внутри равностороннего треугольника АВС дана точка М такая, что
АМ = 1, ВМ = 2 , ∠АМВ = 105°. Найти длину отрезка СМ и величину угла
∠ВМС.

     17. В ромбе ABCD величина угла А равна 120°. Внутри ромба дана точка
М такая, что АМ = 1, СМ = 2, ВМ = 3. Найти длину отрезка DM и стороны АВ.

     18. В плоскости равностороннего треугольника АВС, вне его, взята точка
М такая, что ВМ = 2, АМ = 2 , ∠АМС = 15°. Найти величину угла ∠ВМС и
длину отрезка СМ.
      19. На сторонах правильного треугольника АВС выбраны точки А1, В1, С1
так, что АВ1 : В1С = СA1 : А1В = ВС1 : C1А, СС1∩АА1 = В2, СС1∩ВВ1 = А2, ВВ1 ∩
АА1 = С2. Доказать, что треугольник А2В2С2 правильный и что его центр совпа-
дает с центром треугольника А1В1С1.
      20. Внутри прямоугольного равнобедренного треугольника АВС (∠С =
90°) взята точка М такая, что АМ = 2, ВМ = 2 , СМ = 1. Найти длину стороны
АС и величины углов ∠ВМС и ∠СМА.
      21. Внутри прямоугольного равнобедренного треугольника АВС с пря-
мым углом С взята точка М такая, что АМ = 2, ∠АМВ = 120°,
∠АМС = 105°. Найти длины отрезков ВМ и СМ.

Страницы