Геометрические преобразования в примерах и задачах. Дорофеев С.Н. - 60 стр.

                                     60

     Упражнения и задачи для самостоятельного выполнения

     1. На плоскости дан отрезок АВ и точка О, не принадлежащая прямой
АВ. Построить образ отрезка АВ при повороте плоскости вокруг точки О на
направленный угол 45°.
      2. На плоскости дана ломаная ABCD и точка О, не принадлежащая этой
ломаной. Построить образ ломаной ABCD при повороте вокруг точки О на на-
правленный угол – 60°.
      3. На плоскости дана окружность ω(О, R) с центром в точке О и радиусом
5 см. Построить образ окружности при повороте вокруг точки О на направлен-
ный угол 90°.
      4. Найти образ и прообраз точки М(–2, –2) при повороте вокруг:
      1) начала прямоугольной декартовой системы координат на угол 30°;
      2) точки S(3, –4) на угол 60°.
      5. Отрезок А1В1 – образ отрезка АВ при повороте вокруг точки О на угол
α по часовой стрелке; М – точка пересечения отрезков АВ и А1В1. Докажите,
что:
      а)∠АМА1 = ∠ВМВ1 = α;
      б) точки М, О, А, А1 лежат на одной окружности;
      в) точки М, О, В, В1 лежат на одной окружности.
      6. На сторонах BC и DC квадрата ABCD взяты, соответственно, точки М
и N так, что ∠MAN = 45°. Доказать, что ∠AMB = ∠AMN, ∠AND = ∠ANM
(Указание. Применим поворот плоскости вокруг точки А на угол 900 . При этом
вершина в перейдет в вершину D, вершина с перейдет в точку С`, а вершина D
перейдет в точку D`. Поскольку сторона ВС переходит в отрезок DC`, то точка
М перейдет в точку M`. Так как ∠MAМ` =90°, а ∠MAN = 45°, то ∠NAM` = 45°.
Значит, треугольник MAN равен треугольнику M`AN. Следовательно, ∠АM`N
=∠AМN. Поскольку ∠AМ`N = ∠AMB, то∠AМN =∠AМВ.)
      7. На сторонах квадрата, вне его, построены правильные шестиугольники.
Доказать, что их центры являются вершинами квадрата.
      8. На сторонах ВС и CD квадрата ABCD взяты точки М и К,
 соответственно, так, что ∠ВАМ = ∠МАК. Доказать, что ВМ + КD = АК. (Ука-
зание. Применим поворот плоскости вокруг точки А на угол 900. Тогда точка В
перейдет в точку D, точка М в точку М`, точка К в точку К`. В треугольнике
АКМ` величина ∠КM`А=900-α, а величина угла ∠M`АК=α+900-2α=900-α . Сле-
довательно, АК=КM`. Значит АК=BМ+КD).
      9. Внутри квадрата ABCD взята точка Р. Проведены перпендикуляры: из
вершины А – к прямой ВР, из вершины В – к СР, из С – к DP, из D – к АР. До-
казать, что все прямые, содержащие построенные перпендикуляры, проходят
через одну точку ( Указание. Применим поворот плоскости вокруг центра О
квадрата на 900. Тогда прямые АР, DР, СР,BP перейдут в некоторые прямые
DР`,CP`,BP`,AP`, перпендикулярные прямым АР, ВР,СР,DP. Поскольку из то-
чек В, С, D, А на прямую АР,ВР,СР, DP можно опустить соответственно только