Геометрические преобразования в примерах и задачах. Дорофеев С.Н. - 58 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

58
или
,
4
sincos1
)90cos()
4
sincos1
()90sin()
4
sincos1
( `
,
4
sincos1
)90sin()
4
sincos1
()90cos()
4
sincos1
( `
00
00
αααααα
αααααα
−−
+−
−−
−+−
−+
−=
−+
+−
−−
−−−
−+
−=
yxy
yxx
Поскольку
,1)90sin(,0)90cos(
00
−=−=− то формулы поворота плоскости вокруг
точки О на угол -90
0
принимают следующий вид:
.
2
sin1
`
,
2
cos
`
α
α
−
+−=
+=
xy
yx
Найдем образ точки
О
1
при повороте
0
90−
O
π
. Имеем:
.
2
sin
2
sin1
2
1
`
,
2
cos1
2
cos
2
1
`
αα
αα
−=
−
+−=
+
=+=
y
x
Заметим, что образ точки
О
1
при повороте
0
90−
O
π
совпадает с вершиной О
2
. Теперь
найдем образ этой вершины. Имеем:
.
2
sincos
2
sin1
2
cos1
`
,
2
cossin
2
cos
2
sin
`
αααα
αααα
−−
=
−
+
+
−=
+−
=+−=
y
x
Заметим, что образ точки
О
2
при повороте
0
90−
O
π
совпадает с вершиной О
3
. Теперь
найдем образ этой вершины. Имеем:
.
2
cos1
2
sin1
2
cossin
`
,
2
sin
2
cos
2
sincos
`
αααα
αααα
−
=
−
+
+−
−=
−=+
+
−=
y
x
Заметим, что образ точки
О
3
при повороте
0
90−
O
π
совпадает с вершиной О
4
. Ана-
логичным образом можно показать, что образ вершины
О
4
при повороте
0
90−
O
π
совпадает с вершиной О
1
. Следовательно, четырехугольник О
1
О
2
О
3
О
4
есть
квадрат.
Пример 12. Правильные треугольники АВС и А
1
В
1
С
1
(вершины пере-
числены против часовой стрелки) расположены на плоскости так, что
11
ВА2АВ = . Середина D отрезка AB
1
лежит внутри треугольника АВС. Найти
величину угла CDC
1
, если АD = 1, ВD =
3
, СD = 2.
Решение. Применим поворот вокруг вершины В на угол 60
0
против часо-
вой стрелки. Тогда вершина С перейдет в вершину А, а точка D перейдет в точку
D` (Рис.4.15). По свойству поворота треугольник BDD` правильный. Рассмотрим 
                                                        58

или

           1 + cos α − sin α                        1 − cos α − sin α                 1 + cos α − sin α
x` = ( x −                   ) cos(−90 0 ) − ( y −                    ) sin(−90 0 ) +                   ,
                   4                                         4                                4
           1 + cos α − sin α                        1 − cos α − sin α                 1 − cos α − sin α
y` = ( x −                   ) sin( −90 0 ) + ( y −                   ) cos(−90 0 ) +                   ,
                   4                                        4                                  4
Поскольку cos(−90 0 ) = 0, sin(−90 0 ) = −1, то формулы поворота плоскости вокруг
точки О на угол -900 принимают следующий вид:
                                               cos α
                                      x` = y +        ,
                                                  2
                                                 1 − sin α
                                      y` = − x +           .
                                                     2
                                                             0
Найдем образ точки О1 при повороте π O−90 . Имеем:
                                       1 cos α 1 + cos α
                                  x` =   +      =          ,
                                       2   2          2
                                         1 1 − sin α    sin α
                                  y` = − +           =−       .
                                         2     2          2
                                                                 0
Заметим, что образ точки О1 при повороте π O−90 совпадает с вершиной О2. Теперь
найдем образ этой вершины. Имеем:
                                       sin α cos α − sin α + cos α
                                x` = −       +      =               ,
                                         2      2           2
                                       1 + cos α 1 − sin α − cos α − sin α
                                y` = −          +         =                .
                                           2         2            2
                                                                 0
Заметим, что образ точки О2 при повороте π O−90 совпадает с вершиной О3. Теперь
найдем образ этой вершины. Имеем:

                                    cos α + sin α cos α      sin α
                             x` = −               +      =−        ,
                                          2           2        2
                                    − sin α + cos α 1 − sin α 1 − cos α
                             y` = −                 +         =         .
                                           2            2            2
                                                                     0
Заметим, что образ точки О3 при повороте π O−90 совпадает с вершиной О4. Ана-
логичным образом можно показать, что образ вершины О4 при повороте
    0
π O−90 совпадает с вершиной О1. Следовательно, четырехугольник О1О2О3О4 есть
квадрат.

     Пример 12. Правильные треугольники АВС и А1В1С1 (вершины пере-
числены против часовой стрелки) расположены на плоскости так, что
АВ1 = 2ВА1 . Середина D отрезка AB1 лежит внутри треугольника АВС. Найти
величину угла CDC1 , если АD = 1, ВD = 3 , СD = 2.
      Решение. Применим поворот вокруг вершины В на угол 600 против часо-
вой стрелки. Тогда вершина С перейдет в вершину А, а точка D перейдет в точку
D` (Рис.4.15). По свойству поворота треугольник BDD` правильный. Рассмотрим

Страницы